Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$R$-Algebra. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \in }{ A_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und folgere, dass $A_0$ eine
$R$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{}
von $A$ ist.
}
{} {}
In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass zu einem
\definitionsverweis {Untermonoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\mathdisp {\oplus_{d \in M} A_d} { }
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $A$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
sei. Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ d\in D \mid A_d \neq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untermonoid}{}{}
von $D$ ist.
}
{} {}
Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Ein
$K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { A } { A
} {}
heißt \definitionswort {homogen}{,} wenn für jedes
\definitionsverweis {homogene Element}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ A_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(a )
}
{ \in }{ A_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass der in
Lemma 7.9
zu einem
\definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi
}
{ \in }{ D ^{ \vee }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eingeführte Automorphismus
\maabbdisp {\varphi_\chi} { A } { A
} {}
\definitionsverweis {homogen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $R$ ein kommutativer
$D$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\pi} { D } { E
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ \operatorname{kern} \pi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige folgende Aussagen.
\aufzaehlungvier{ $R$ ist in natürlicher Weise $E$-graduiert.
}{Die Operation von
\mathl{E ^{ \vee }}{} auf $R$ im Sinne von
Lemma 7.9
stimmt mit der Operation via
\maabbdisp {\pi^{ \vee }} { E ^{ \vee } } { D ^{ \vee }
} {}
überein.
}{Die neutrale Stufe von $R$ bezüglich der $E$-Graduierung ist
\mathl{\bigoplus_{d \in F} R_d}{.} Dieser Ring ist $F$-graduiert und seine neutrale Stufe stimmt mit der neutralen Stufe von $R$ in der $D$-Graduierung überein.
}{Vergleiche die letzte Aussage mit
Proposition 5.1.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe im Sinne von
Aufgabe 7.5,
wie auf dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R[X_1 , \ldots , X_n]}{}
\zusatzklammer {$R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}} {} {} die
\definitionsverweis {feine Graduierung}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{}
zusammenhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass es auf dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[V]}{} keine kanonische
\definitionsverweis {feine Graduierung}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in $n$ Variablen genau
\mathl{\binom { d+n-1 } { n-1 }}{}
\definitionsverweis {Monome}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} ebenfalls $D$-graduiert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K} ^{\times} \times {\mathbb K}^2 } { {\mathbb K}^2 } {(u,x,y)} { (ux,u^{-1}y) } {.} Bestimme die \definitionsverweis {Bahnen}{}{} der Operation. Ist der \definitionsverweis {Quotient}{}{} \zusatzklammer {versehen mit der \definitionsverweis {Bildtopologie}{}{}} {} {} ein \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das keine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
in $R$ besitze. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2 -r
}
{ \in }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ die Menge der
\definitionsverweis {stetigen}{}{}
\definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{}
und $U$ die Menge der stetigen
\definitionsverweis {ungeraden Funktionen}{}{}
von $\R$ nach $\R$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{C}^0 \, (\R, \R)
}
{ =} { G \oplus U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
$\Z/( 2 )$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2
}
{ \in }{ R ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf dem die Gruppe
\mathl{\Z/( 2 )}{} als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Zeige, dass man $R$ mit einer
$\Z/( 2 )$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
versehen kann derart, dass die
\definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{}
der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei
\maabbdisp {\varphi} { A } { A
} {}
ein
\definitionsverweis {homogener Automorphismus}{}{.}
Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi
}
{ \in }{ D ^{ \vee }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \varphi_\chi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, wobei $\varphi_\chi$ der gemäß
Lemma 7.9
zu $\chi$ gehörige Automorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\maabbdisp {\delta} { \Z^2 } { \Z
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{}
von
\mathl{K[X,Y]}{} zur Graduierung, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (X_1 )
}
{ = }{ \delta(e_1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (X_2 )
}
{ = }{ \delta(e_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $R$ eine kommutative
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ D ^{ \vee }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der natürlichen Operation auf $R$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
\definitionsverweis {Charakter}{}{}
$\lambda$ auf $G$ derart definiert, dass
\zusatzklammer {unter geeigneten Voraussetzungen an $D$ und $K$} {} {}
die Menge der
\definitionsverweis {Semiinvarianten}{}{}
bezüglich $\lambda$ gerade die $d$-te
\definitionsverweis {Stufe}{}{}
der Graduierung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {XY-Z^n} { }
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}