Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Definitionsabfrage

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Ein Polynom ${\displaystyle {}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ heißt symmetrisch, wenn für jede Permutation ${\displaystyle {}\sigma \in S_{n}}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}f=f^{\sigma }\,}$

besteht, wobei ${\displaystyle {}f^{\sigma }}$ aus ${\displaystyle {}f}$ entsteht, indem man überall in ${\displaystyle {}f}$ die Variable ${\displaystyle {}X_{i}}$ durch ${\displaystyle {}X_{\sigma (i)}}$ ersetzt.

Das ${\displaystyle {}i}$-te elementarsymmetrische Polynom in ${\displaystyle {}n}$ Variablen ist das Polynom (mit ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$)

${\displaystyle {}E_{i}:=\sum _{1\leq k_{1}<\ldots <k_{i}\leq n}X_{k_{1}}\cdots X_{k_{i}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Die gradlexikographische Ordnung auf der Menge der Monome ist durch

${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}\prec X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}},}$

falls der Grad von ${\displaystyle {}X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}}$, (also ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}}$), kleiner als der Grad von ${\displaystyle {}X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}}$ ist, oder, bei gleichem Grad, wenn ${\displaystyle {}a_{1}=b_{1},\ldots ,a_{k}=b_{k}}$, aber ${\displaystyle {}a_{k+1}<b_{k+1}}$ ist, gegeben.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Eine Abbildung

${\displaystyle G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto gx,}$

heißt Gruppenoperation (von ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}M}$), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.

1. ${\displaystyle {}ex=x}$ für alle ${\displaystyle {}x\in M}$.
2. ${\displaystyle {}(gh)x=g(hx)}$ für alle ${\displaystyle {}g,h\in G}$ und für alle ${\displaystyle {}x\in M}$.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Eine Gruppenoperation von ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}M}$ heißt treu, wenn aus ${\displaystyle {}gx=x}$ für alle ${\displaystyle {}x\in M}$ folgt, dass ${\displaystyle {}g=e}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge, auf der eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$ operiere. Eine Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ heißt ${\displaystyle {}G}$-invariant, wenn zu jedem ${\displaystyle {}x\in T}$ und jedem ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ auch ${\displaystyle {}\sigma x\in T}$ gilt.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Man nennt zwei Elemente ${\displaystyle {}x,y\in M}$

${\displaystyle {}G}$-äquivalent (oder äquivalent unter ${\displaystyle {}G}$), wenn es ein ${\displaystyle {}g\in G}$ mit ${\displaystyle {}y=gx}$ gibt.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Die Äquivalenzklassen auf ${\displaystyle {}M}$ zur ${\displaystyle {}G}$- Äquivalenz nennt man die Bahnen der Operation.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Ein Punkt ${\displaystyle {}x\in M}$ heißt Fixpunkt der Operation, wenn ${\displaystyle {}gx=x}$ ist für alle ${\displaystyle {}g\in G}$.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Zu ${\displaystyle {}x\in M}$ heißt

${\displaystyle {}G_{x}={\left\{g\in G\mid gx=x\right\}}\,}$

die Isotropiegruppe zu ${\displaystyle {}x}$.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Die Operation heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen ${\displaystyle {}x,y\in M}$ ein ${\displaystyle {}g\in G}$ mit ${\displaystyle {}gx=y}$ gibt.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Dann nennt man die Menge der Bahnen den Bahnenraum der Operation. Er wird mit

${\displaystyle M\backslash G}$

bezeichnet. Die Abbildung

${\displaystyle M\longrightarrow M\backslash G,\,x\longmapsto [x],}$

wobei ${\displaystyle {}[x]}$ die Bahn durch ${\displaystyle {}x}$ bezeichnet, heißt Quotientenabbildung.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe und seien ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ zwei Mengen, auf denen jeweils ${\displaystyle {}G}$ operiert. Dann heißt eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

${\displaystyle {}G}$-invariant (oder ${\displaystyle {}G}$-verträglich) wenn für alle ${\displaystyle {}g\in G}$ und alle ${\displaystyle {}x\in M}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}\varphi (gx)=g\varphi (x)\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe. Eine Operation

${\displaystyle \mu \colon G\times V\longrightarrow V}$

heißt linear, wenn für jedes ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ die Abbildung

${\displaystyle V\longrightarrow V,\,v\longmapsto \mu (\sigma ,v),}$

${\displaystyle {}K}$- linear ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, die auf einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ linear operiere. Ein Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ heißt ${\displaystyle {}G}$-invariant, wenn für alle ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ und alle ${\displaystyle {}v\in U}$ auch ${\displaystyle {}\sigma v\in U}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, die auf einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ linear operiere. Der Untervektorraum

${\displaystyle {\left\{v\in V\mid \sigma v=v{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}}$

heißt der Fixraum der Gruppenoperation.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein (endlichdimensionaler) ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Einen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}}$

nennt man eine (endlichdimensionale) Darstellung (über ${\displaystyle {}K}$).

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine endliche Gruppe und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Unter der regulären Darstellung von ${\displaystyle {}G}$ versteht man den Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(K^{G}\right)},\,\sigma \longmapsto {\left(e_{\tau }\mapsto e_{\sigma \tau }\right)}.}$

Es sei ${\displaystyle {}G}$ ein Monoid und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus

${\displaystyle \chi \colon G\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot )}$

ein Charakter von ${\displaystyle {}G}$ in ${\displaystyle {}K}$.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ ein Gruppe und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere

${\displaystyle {}G^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(G,K)={\left\{\chi :G\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,}$

die Charaktergruppe von ${\displaystyle {}G}$ (in ${\displaystyle {}K}$).

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Man nennt die von allen formalen Monomen ${\displaystyle {}f_{1}\cdot f_{2}\cdots f_{m}}$, wobei die ${\displaystyle {}f_{i}}$ Linearformen auf ${\displaystyle {}V}$ sind, symbolisch erzeugte kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den Polynomring zu ${\displaystyle {}V}$. Er wird mit

${\displaystyle K[V]}$

bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V,W}$ seien endlichdimensionale ${\displaystyle {}K}$- Vektorräume und ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow W}$ sei eine lineare Abbildung. Den durch

${\displaystyle {\varphi }^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}}$

über ${\displaystyle {}f_{1}\cdots f_{m}\mapsto {\varphi }^{*}(f_{1})\dots {\varphi }^{*}(f_{m})}$ gegebenen ${\displaystyle {}K}$- Algebrahomomorphismus

${\displaystyle K[W]\longrightarrow K[V]}$

nennt man induzierten Algebrahomomorphismus.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und

${\displaystyle G\times V\longrightarrow V}$

eine lineare Operation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}V}$. Es sei ${\displaystyle {}K[V]}$ der Polynomring zu ${\displaystyle {}V}$. Die Operation der Gruppe ${\displaystyle {}G}$ (von rechts) auf ${\displaystyle {}K[V]}$, die für jedes ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ per Definition 4.5 durch die Zuordnung

${\displaystyle {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \sigma ,}$

festgelegt ist, nennt man die induzierte Operation auf dem Polynomring.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

${\displaystyle {}R^{G}={\left\{f\in R\mid f\sigma =f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,}$

als den Invariantenring (oder Fixring) von ${\displaystyle {}R}$ unter der Operation von ${\displaystyle {}G}$.