Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Vorlesung 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Noethersche Ringe}
Unser Ziel ist es zu zeigen, dass wenn $R$ ein noetherscher Ring ist, dass dann auch der Polynomring
\mathl{R[X]}{} ein noetherscher Ring ist
\zusatzklammer {Hilbertscher Basissatz} {} {.}
Dies gilt dann auch für die Hinzunahme von mehreren
\zusatzklammer {endlich vielen} {} {}
Variablen und insbesondere für Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper. Wir erinnern an den Begriff des noetherschen Ringes.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungjpg {Noether} {jpg} }
\end{center}
\bildtext {Emmy Noether (1882-1935)} }
\bildlizenz { Noether.jpg } {Unbekannt (vor 1910)} {} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {noethersch}{,} wenn jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} darin \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Für einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$}
\faktuebergang {sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei { $R$ ist
\definitionsverweis {noethersch}{}{.}
} {Jede aufsteigende Idealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_2
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_3
}
{ \subseteq} { \ldots
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird \stichwort {stationär} {,} d.h. es gibt ein $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_n
}
{ = }{ {\mathfrak a}_{n+1}
}
{ = }{ \ldots
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) $\Rightarrow$ (2). Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_2
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_3
}
{ \subseteq} { \ldots
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine aufsteigende Idealkette in $R$. Wir betrachten die Vereinigung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ \bigcup_{n \in \N } {\mathfrak a}_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die wieder ein Ideal in $R$ ist. Da $R$ noethersch ist, ist ${\mathfrak a}$ endlich erzeugt, d.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da diese $f_i$ in der Vereinigung der Ideale ${\mathfrak a}_n$ liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein $n$ derart geben, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_k
}
{ \in }{ {\mathfrak a}_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f_1 , \ldots , f_k)
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_{n+m}
}
{ \subseteq} { \bigcup_{n \in \N } {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq} { (f_1, \ldots , f_k)
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss hier Gleichheit gelten, sodass die Idealkette ab $n$ stationär ist.
(2) $\Rightarrow$ (1). Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal in $R$. Wir nehmen an, ${\mathfrak a}$ sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_n
}
{ \subset }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die ${\mathfrak a}_n$ alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1
}
{ \subset} { {\mathfrak a}_2
}
{ \subset} { \ldots
}
{ \subset} { {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}
}
}
{}{}{}
bereits konstruiert. Da ${\mathfrak a}_n$ endlich erzeugt ist, aber ${\mathfrak a}$ nicht, ist die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
echt und es gibt ein Element
\mathbed {f_{n+1} \in {\mathfrak a}} {}
{f_{n+1} \not\in {\mathfrak a}_{n}} {}
{} {} {} {.}
Dann setzt das Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_{n+1}
}
{ \defeq }{ {\mathfrak a}_n + ( f_{n+1})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Idealkette echt aufsteigend fort.
\inputfaktbeweis
{Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch jeder
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak b}}{} noethersch.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R/ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Ideal und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{ {\mathfrak a} }
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{ {\mathfrak a} }
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Restklassen dieser Erzeuger, also
\mathl{\bar{f}_1 , \ldots , \bar{f}_n}{,} bilden ein Idealerzeugendensystem von ${\mathfrak a}$
- Für ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bar{g}
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n r_i f_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $R$ und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bar{g}
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n \bar{r}_i \bar{f}_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/{\mathfrak b}}{.}
\zwischenueberschrift{Der Hilbertsche Basissatz}
Wie viele grundlegende Aussagen der kommutativen Algebra geht der Hilbertsche Basissatz, dem wir uns jetzt zuwenden, auf David Hilbert zurück, genauer auf seine Arbeit von 1890, \anfuehrung{Ueber die Theorie der algebraischen Formen}{}.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungjpg {David_Hilbert_1886} {jpg } }
\end{center}
\bildtext {David Hilbert (1862-1943)} }
\bildlizenz { David Hilbert 1886.jpg } {Unbekannt (1886)} {} {Commons} {PD} {}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch der Polynomring
\mathl{R[X]}{} noethersch.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei ${\mathfrak b}$ ein Ideal im Polynomring $R[X]$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren wir ein Ideal ${\mathfrak a}_n$ in $R$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_ n
}
{ =} { { \left\{ c \in R \mid \text{es gibt } F \in {\mathfrak b} \text{ mit } F = cX^n + c_{n-1}X^{n-1} + \cdots + c_1X +c_0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Menge ${\mathfrak a}_n$ besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad $n$ aus ${\mathfrak b}$. Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in $R$
\zusatzklammer {wobei wir hier $0$ als Leitkoeffizient zulassen} {} {.}
Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak a}_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da man ja ein Polynom $F$ vom Grad $n$ mit Leitkoeffizient $c$ mit der Variablen $X$ multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad
\mathl{n+1}{} zu erhalten, das wieder $c$ als Leitkoeffizienten besitzt. Da $R$ noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei $n$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_n
}
{ = }{ {\mathfrak a}_{n+1}
}
{ = }{ \ldots
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_i
}
{ = }{ (c_{i 1} , \ldots , c_{i k_i })
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein endliches Erzeugendensystem, und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_{ij}
}
{ =} { c_{ij} X^{i} + \text{ Terme von kleinerem Grad }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zugehörige Polynome aus ${\mathfrak b}$
\zusatzklammer {die es nach Definition der ${\mathfrak a}_i$ geben muss} {} {.}
Wir behaupten, dass ${\mathfrak b}$ von allen
\mathl{{ \left\{ F_{ij} \mid 0 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq k_i \right\} }}{} erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \in }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch Induktion über den Grad von $G$, dass es als Linearkombination mit diesen
\mathl{F_{ij}}{} darstellbar ist. Für $G$ konstant, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ist dies klar. Es sei nun der Grad von $G$ gleich $d$ und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { cX^d + c_{d-1}X^{d-1} + \cdots + c_1X+c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {\mathfrak a}_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit kann man $c$ als $R$-Linearkombination der
\mathbed {c_{ij}} {}
{0 \leq i \leq n} {}
{1 \leq j \leq k_i} {} {} {,}
schreiben. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man $c$ sogar als $R$-Linearkombination der
\mathbed {c_{dj}} {}
{j=1 , \ldots , k_d} {}
{} {} {} {,}
schreiben, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ \sum_{j = 1}^{k_d} r_j c_{dj}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G-\sum_{j = 1}^{k_d} r_j F_{dj}
}
{ \in }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und hat einen kleineren Grad, sodass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ > }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c
}
{ =} { \sum_{i = 0 , \ldots , n,\, j = 1 , \ldots , k_i } r_{ij} c_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit gehört
\mathdisp {G-\sum_{i=0 , \ldots , n,\, j=1 , \ldots , k_i } r_{ij} X^{d-i} F_{ij}} { }
ebenfalls zu ${\mathfrak b}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Endliche viele Variablen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mathl{R[X_1 , \ldots , X_n]}{} noethersch.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt durch induktive Anwendung
des Hilbertschen Basissatzes
auf die Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ \subset} { R[X_1]
}
{ \subset} { (R[X_1])[X_2] = R[X_1,X_2]
}
{ \subset} { (R[X_1,X_2])[X_3] = R[X_1,X_2,X_3]
}
{ \subset} { \ldots
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subset} { R[X_1 , \ldots , X_{n}]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Polynomring über Körper/Endliche viele Variablen/Noethersch/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{}
\definitionsverweis {noethersch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Korollar 10.5.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$A$ heißt \definitionswort {von endlichem Typ}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {endlich erzeugt}{}} {} {,}
wenn sie die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { R[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
Eine endlich erzeugte $R$-Algebra besitzt also eine Darstellung als Restklassenring einer Polynomalgebra über $R$ in endlich vielen Variablen. Eine solche Darstellung ist keineswegs eindeutig.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Körper/Noethersch/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist jede
$R$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{}
ebenfalls noethersch. Insbesondere ist für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ jede $K$-Algebra von endlichem Typ noethersch.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Korollar 10.5 und aus Lemma 10.3.
\zwischenueberschrift{Noethersche Moduln}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Der Modul $M$ heißt \definitionswort {endlich erzeugt}{} oder \definitionswort {endlich}{,} wenn es ein
\definitionsverweis {endliches}{}{}
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
für ihn gibt
\zusatzklammer {also mit einer endlichen Indexmenge} {} {.}
}
Wir wollen zeigen, das für einen noetherschen Ring $R$ und einen endlich erzeugten $R$-Modul jeder $R$-Untermodul wieder endlich erzeugt ist. Solche Moduln nennt man noethersch.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Dann heißt $M$ \definitionswort {noethersch}{,} wenn jeder $R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{} von $M$ \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.
}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stimmt dies mit der Definition eines noetherschen Ringes überein, da ja die $R$-Untermoduln von $R$ gerade die Ideale sind.
In den folgenden Aussagen verwenden wir folgende Sprech- bzw. Schreibweise.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mathl{M_1,M_2,M_3}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Man nennt ein Diagramm der Form
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, M_1 \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M_2 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, M_3 \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine \definitionswort {kurze exakte Sequenz}{} von $R$-Moduln, wenn $M_1$ ein $R$-Untermodul von $M_2$ ist, und wenn $M_3$ ein Restklassenmodul von $M_2$ ist, der isomorph zu
\mathl{M_2/M_1}{} ist.
}
Die Exaktheit bedeutet, dass an jeder Stelle die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi_{i+1}
}
{ =} { \operatorname{bild} \varphi_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wenn $\varphi_i$ die
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{}
bezeichnet.
\inputfaktbeweis
{Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Kurze exakte Sequenz/Äquivalentes Kriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
\mathdisp {0 \longrightarrow M_1 \longrightarrow M \longrightarrow M_3 \longrightarrow 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von $R$-Moduln.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ genau dann
\definitionsverweis {noethersch}{}{,}
wenn sowohl $M_1$ als auch $M_3$ noethersch sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei zunächst $M$ noethersch, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Untermodul. Dann ist $U$ direkt auch ein Untermodul von $M$, also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ M_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von $V$ in $M$ unter der Restklassenabbildung sei $\tilde{V}$. Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul $V$.
Es seien nun die äußeren Moduln $M_1$ und $M_3$ noethersch, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Untermodul. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_3
}
{ \subseteq }{ M_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Bild-Untermodul davon. $U_3$ wird von endlich vielen Elementen
\mathl{s_1 , \ldots , s_n}{} erzeugt, und wir können annehmen, dass diese
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_i
}
{ = }{ \overline{r}_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Bilder von Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_i
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind. Betrachte
\mathl{U \cap M_1}{.} Dies ist ein Untermodul von $M_1$, und daher endlich erzeugt, sagen wir von
\mathl{t_1 , \ldots , t_k}{,} die wir als Elemente in $U$ auffassen. Wir behaupten, dass
\mathdisp {r_1 , \ldots , r_n,t_1 , \ldots , t_k} { }
ein Erzeugendensystem von $U$ bilden. Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein beliebiges Element. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{m}
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n a_i s_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher geht das Element
\mathl{m-\sum_{i=1}^n a_i r_i}{} rechts auf $0$. Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu $M_1$. Andererseits gehört dieses Element auch zu $U$, also zum Durchschnitt
\mathl{M_1 \cap U}{,} der ja von den
\mathl{t_1 , \ldots , t_k}{} erzeugt wird. Also kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m-\sum_{i = 1}^n a_i r_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k b_j t_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n a_i r_i+ \sum_{j = 1}^k b_j t_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Modul}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl $n$ der Modulerzeuger von $M$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt der Nullmodul vor. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es eine surjektive Abbildung
\maabb {} { R } { M \cong R/ {\mathfrak a}
} {.}
Nach
Lemma 10.12
ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist $M$ noethersch.
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage für kleinere $n$ bereits bewiesen. Es sei
\mathl{m_1 , \ldots , m_n}{} ein Erzeugendensystem von $M$. Wir betrachten den durch
\mathl{m_1 , \ldots , m_{n-1}}{} erzeugten $R$-Untermodul, den wir mit $M_1$ bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer
\definitionsverweis {kurzen exakten Sequenz}{}{,}
nämlich
\mathdisp {0 \longrightarrow M_1 \longrightarrow M \longrightarrow M/M_1 =:M_3 \longrightarrow 0} { . }
Hier wird der linke Modul von
\mathl{n-1}{} Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von $m_n$, also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach
Lemma 10.12
ist dann $M$ noethersch.