Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Vorlesung 29/latex
\setcounter{section}{29}
\zwischenueberschrift{Lineare Gruppen und Operationen}
Wir besprechen einige Beispiele von typischen Operationen von unendlichen algebraischen Gruppen wie der allgemeinen linearen Gruppe oder der speziellen linearen Gruppe. Ein solches Beispiel \zusatzgs {die Operation auf der Menge der Dreiecke} {} haben wir schon in Beispiel 1.1 und in der fünften Vorlesung besprochen.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Die natürliche Operation der
\definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt nur zwei
\definitionsverweis {Bahnen}{}{,}
nämlich den Nullpunkt $0$ und
\mathl{V \setminus \{0\}}{.} Je zwei von $0$ verschiedene Vektoren können ja mit einem geeigneten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ineinander überführt werden. Hier sind also keine interessanten Invarianten zu erwarten.
Ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
transformiert aber nicht nur einen einzigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {einen Vektor} {} {,}
sondern beliebige Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Frage, ob zwei Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_1,T_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mittels einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ineinander überführt werden können, wird schnell kompliziert
\zusatzklammer {die Menge der betrachteten Objekte muss im Allgemeinen kein Vektorraum mehr sein} {} {.}
Hier betrachten wir endliche geordnete Punktmengen. Wir fixieren eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachten Punkttupel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P_1 , \ldots , P_n)
}
{ \in} { V^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wir uns als eine geordnete Punktkonfiguration in $V$ vorstellen. Die Punkte sind also durchnummeriert, und es ist auch der Fall erlaubt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ = }{ P_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Operation der allgemeinen linearen Gruppe dehnt sich sofort auf diese Situation aus,
und zwar ist die Operation durch
\maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } \times V^n } { V^n
} { (g,v_1,v_2 , \ldots , v_n) } { (g(v_1),g(v_2) , \ldots , g(v_n))
} {,}
gegeben.
Im einfachsten Fall, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
geht es um die Operation der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$K^{\times}$ auf $K^n$ durch skalare komponentenweise Multiplikation. Die Bahnen sind neben dem Nullpunkt die punktierten Geraden durch den Nullpunkt. Außer den konstanten Funktionen gibt es keine invarianten Polynome. Die auf
\mathl{K^n \setminus \{0\}}{} eingeschränkte Operation besitzt den $n-1$-dimensionalen
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
als Quotienten.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {man denke an
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ r
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und wir betrachten die Wirkungsweise von
\mathl{\operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} auf dem $r$-fachen Produkt von $V$ mit sich selbst, bei der ein $r$-Tupel
\mathl{v_1 , \ldots , v_r}{} von $r$ Vektoren aus $V$ auf ein anderes, durch die Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmtes $r$-Tupel abgebildet wird. Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a_{1 1 } & \ldots & a_{1 r } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ r 1 } & \ldots & a_{ r r } \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
interessieren wir uns also für die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) } \times V^r } { V^r
} {( \begin{pmatrix} a_{1 1 } & \ldots & a_{1 r } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ r 1 } & \ldots & a_{ r r } \end{pmatrix}, v_1,v_2 , \ldots , v_r) } { \left( \sum_{i = 1}^r a_{1i} v_i , \, \sum_{i = 1}^r a_{2i} v_i , \, \ldots , \, \sum_{i = 1}^r a_{ri} v_i \right)
} {.}
Ein Tupel wird also stets auf ein Tupel aus Linearkombinationen der Einträge abgebildet. Daher ist der von
\mathl{v_1 , \ldots , v_r}{} erzeugte
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
gleich dem vom Bildtupel
\mathl{g(v_1 , \ldots , v_r)}{} erzeugten Untervektorraum. Wenn die
\mathl{v_1 , \ldots , v_r}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind, so gilt dies auch für das Bildtupel. Für einen $r$-dimensionalen Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $U$ gibt es stets einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
von $U$, der die eine Basis in die andere Basis überführt. Wenn man also die Operation von
\mathl{\operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} auf die
\zusatzklammer {offene und dichte} {} {}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ V^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einschränkt, die aus allen linear unabhängigen $r$-Tupeln besteht, so entsprechen die
\definitionsverweis {Bahnen der Operation}{}{}
den $r$-dimensionalen Untervektorräumen von $V$, und die Elemente der einzelnen Bahnen durchlaufen sämtliche Basen des zugehörigen Raumes. Die Bahnen der Operation auf ganz $V^r$ sind schwieriger zu charakterisieren.
Wir beschreiben die algebraische Version dieser Operation. Die linearen Funktionen auf dem der Operation zugrunde liegenden Vektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ V^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Linearformen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_r)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(v_1 , \ldots , v_r)
}
{ =} { f_1(v_1) + \cdots + f_r (v_r)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei sind die $f_i$ Linearformen auf $V$, die wir direkt als Linearformen auf $V^r$ über die $i$-te Projektion auffassen. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { \left( f_1 , \, \ldots , \, f_r \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die verknüpfte Abbildung gleich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (f g) \left( v_1 , \, \ldots , \, v_r \right)
}
{ =} { f \left( \sum_{i = 1}^r a_{1i} v_i , \, \sum_{i = 1}^r a_{2i} v_i , \, \ldots , \, \sum_{i = 1}^r a_{ri} v_i \right)
}
{ =} { f_1 { \left( \sum_{i = 1}^r a_{1i} v_i \right) } + f_2 { \left( \sum_{i = 1}^r a_{2i} v_i \right) } + \cdots + f_r { \left( \sum_{i = 1}^r a_{ri} v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^r a_{1i} f_1 { \left( v_i \right) } + \sum_{i = 1}^r a_{2i} f_2 { \left( v_i \right) } + \cdots + \sum_{i = 1}^r a_{ri} f_r { \left( v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i,j} a_{ji} f_j { \left( v_i \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{j = 1}^r a_{j1} f_j { \left( v_1 \right) } + \sum_{j = 1}^r a_{j2} f_j { \left( v_2 \right) } + \cdots + \sum_{j = 1}^r a_{jr} f_j { \left( v_r \right) }
}
{ =} { \left( \sum_{j = 1}^r a_{j1} f_j , \, \sum_{j = 1}^r a_{j2} f_j , \, \ldots , \, \sum_{j = 1}^r a_{jr} f_j \right) \left( v_1 , \, \ldots , \, v_r \right)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ fg
}
{ =} { \left( f_1 , \, \ldots , \, f_r \right) g
}
{ =} { \left( \sum_{j = 1}^r a_{j1} f_j , \, \sum_{j = 1}^r a_{j2} f_j , \, \ldots , \, \sum_{j = 1}^r a_{jr} f_j \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass wir die Gesamtsituation mit Variablen schreiben können. Zum Vektorraum $V^r$ gehört der Polynomring
\mathdisp {K[ X_{ij}\, ,1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq r ]} { . }
Dabei repräsentieren die
\mathbed {X_{ij}} {}
{1 \leq i \leq n} {}
{} {} {} {,}
die Koordinatenfunktionen der $j$-ten Kopie des Vektorraums $K^n$. Die Variable
\mathl{X_{ij}}{} ist die $j$-te Projektion von $V^r$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
gefolgt von der $i$-ten Projektion $p_i$ von $K^n$ auf $K$. Somit ist
\zusatzklammer {es steht $p_i$ an der $j$-ten Stelle} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X_{ij} g
}
{ =} { \left( 0 , \, \ldots , \, p_i , \, 0 , \, \ldots , \, 0 \right) g
}
{ =} { \left( a_{j1} p_i , \, \ldots , \, a_{jr} p_i \right)
}
{ =} { \sum_{k = 1}^r a_{jk} X_{ik}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wenn eine Linearform
\zusatzklammer {also eine Linearkombination aller $X_{ij}$} {} {}
in Matrixform als
\mathdisp {\begin{pmatrix} c _{11 } & c _{1 2} & \ldots & c _{1 r } \\
c _{21 } & c _{2 2} & \ldots & c _{2 r } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c _{ n 1 } & c _{ n 2 } & \ldots & c _{ n r } \end{pmatrix}} { }
gegeben ist, wobei die
\mathl{c_{ij}}{} die Koeffizienten zu
\mathl{X_{ij}}{} bezeichnen, so erhält man die durch $g$ transformierte Linearform, indem man die Matrix von rechts mit der transponierten Matrix zu $g$ multipliziert, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} c'_{11 } & c'_{1 2} & \ldots & c'_{1 r } \\
c'_{21 } & c'_{2 2} & \ldots & c'_{2 r } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c'_{ n 1 } & c'_{ n 2 } & \ldots & c'_{ n r } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} c _{11 } & c _{1 2} & \ldots & c _{1 r } \\
c _{21 } & c _{2 2} & \ldots & c _{2 r } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c _{ n 1 } & c _{ n 2 } & \ldots & c _{ n r } \end{pmatrix} \circ { \begin{pmatrix} a_{1 1 } & \ldots & a_{1 r } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ r 1 } & \ldots & a_{ r r } \end{pmatrix} ^{ \text{tr} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit liegt eine Operation der
\mathl{\operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} auf dem Polynomring in $nr$ Variablen vor. Um invariante Polynome zu bekommen, schränken wir die Operation auf die spezielle lineare Gruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{SL}_{ r } \! { \left( K \right) }
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein. Dann sind sämtliche
$r$-\definitionsverweis {Minoren}{}{}
der Variablenmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} X _{11 } & X _{1 2} & \ldots & X _{1 r } \\
X _{21 } & X _{2 2} & \ldots & X _{2 r } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ X _{ n 1 } & X _{ n 2 } & \ldots & X _{ n r } \end{pmatrix}} { }
invariant unter der Gruppenoperation. Dazu betrachten wir die
\definitionsverweis {universelle alternierende Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { V^r } { \bigwedge^r V
} { (v_1 , \ldots , v_r) } { v_1 \wedge \ldots \wedge v_r
} {.}
Diese Abbildung ist nach einer geeigneten Verallgemeinerung von
Korollar 57.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
invariant unter der Gruppenoperation
\zusatzklammer {dafür braucht man, dass die Determinanten von $g$ gleich $1$ sind} {} {.}
Die $r$-Minoren sind Linearformen auf dem $r$-ten Dachprodukt.
}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und einer natürlichen Zahl $r$ nennt man die Menge der
$r$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $r$-te
\definitionswort {Graßmann-Varietät}{.}
Sie wird mit
\mathl{G(r,V)}{} und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{G(r,n)}{} bezeichnet.
}
Nach
Beispiel 29.2
ist
\mathl{G(r,V)}{} der Bahnenraum zur dort beschriebenen Operation der
\mathl{\operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ V^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
wobei $T$ aus den linear unabhängigen $r$-Tupeln besteht. Dieses $T$ ist in der Zariski-Topologie eine offene Teilmenge und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder ${\mathbb C}$ auch in der metrischen Topologie offen. Man kann
\mathl{G(r,V)}{} mit der
\definitionsverweis {Quotiententopologie}{}{}
unter der Quotientenabbildung versehen. Im metrischen Fall erhält man sogar eine Mannigfaltigkeitsstruktur auf
\mathl{G(r,V)}{,} man spricht dann von der
\definitionsverweis {Graßmann-Mannigfaltigkeit}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten Paare von Matrizen
\mathdisp {(B,C)} { , }
wobei $B$ eine
\mathl{m \times n}{-}Matrix und $C$ eine
\mathl{n \times k}{-}Matrix ist. Es gibt also insgesamt
\mathl{n (k+m)}{} Koordinaten. Die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
operiert auf der Menge dieser Matrizenpaare in folgender Weise: Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cdot (B,C)
}
{ \defeq} { (BA^{-1}, A C)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dass eine Operation vorliegt, folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ A_1 \cdot { \left( A_2 \cdot (B,C) \right) }
}
{ =} { A_1 \cdot { \left( BA_2^{-1},A_2 C \right) }
}
{ =} { ((B A_2^{-1}) A_1^{-1}, A_1 (A_2 C))
}
{ =} { (B (A_2^{-1}) A_1^{-1} ) ,(A_1 A_2) C)
}
{ =} { (B (A_1A_2)^{-1},(A_1 A_2) C)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (A_1 A_2) \cdot (B,C)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
woraus auch die Wahl der Reihenfolge und der Grund der Invertierung klar wird. Mit Hilfe der Variablenmatrizen
\mathdisp {X= \begin{pmatrix} X _{11 } & X _{1 2} & \ldots & X _{1 n } \\
X _{21 } & X _{2 2} & \ldots & X _{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ X _{ m 1 } & X _{ m 2 } & \ldots & X _{ m n } \end{pmatrix} \text{ und } Y= \begin{pmatrix} Y _{11 } & Y _{1 2} & \ldots & Y _{1 k } \\
Y _{21 } & Y _{2 2} & \ldots & Y _{2 k } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Y _{ n 1 } & Y _{ n 2 } & \ldots & Y _{ n k } \end{pmatrix}} { }
kann man einfach invariante Polynome aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angeben, nämlich die Einträge der Produktmatrix $XY$, also die Ausdrücke der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_{ij}
}
{ \defeq} { X_{i1}Y_{1j} + X_{i2}Y_{2j} + \cdots + X_{in}Y_{nj}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Invarianz dieser Formen folgt direkt aus der Invarianz der Produktabbildung
\maabbeledisp {\psi} { \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K) \times \operatorname{Mat}_{ n \times k } (K) } { \operatorname{Mat}_{ m \times k } (K)
} { (B,C) } { BC
} {,}
welche sich direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi (A \cdot (B,C))
}
{ =} { \psi ( BA^{-1},AC )
}
{ =} { BA^{-1} AC
}
{ =} { BC
}
{ =} { \psi (B,C)
}
}
{}{}{}
ergibt. Darüber hinaus kann man zeigen, dass der Invariantenring von den
\mathl{F_{ij}}{} erzeugt wird und auch eine explizite Restklassendarstellung ist bekannt: Wenn man den Polynomring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[W]
}
{ = }{ K[W_{i j},\, 1 \leq i \leq m ,\, 1 \leq j \leq k]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heranzieht und die surjektive Abbildung
\maabbeledisp {\pi} { K[W] } { R^G
} { W_{ij} } { F_{ij}
} {,}
betrachtet, so wird der Kern von $\pi$ durch sämtliche
$n+1$-\definitionsverweis {Minoren}{}{}
der Variablenmatrix $W$ erzeugt. Dieser Invariantenring ist daher ein sogenannter \stichwort {Minorenring} {}
\zusatzklammer {oder \stichwort {Determinantenring} {}} {} {,}
und insbesondere lassen sich Minorenringe als Invariantenringe realisieren.
Wenn beispielsweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so gibt es die Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_m}{} und
\mathl{Y_1 , \ldots , Y_k}{} und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_{ij}
}
{ =} { X_iY_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zwischen den
\mathl{F_{ij}}{} bestehen die Relationen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_{ij} F_{rs}
}
{ =} { X_iY_j X_rY_s
}
{ =} { X_iY_s X_rY_j
}
{ =} { F_{is} F_{rj}
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_{ij} F_{rs} - F_{is} F_{rj}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Relationen sind die $2$-Minoren der Matrix
\mathl{{ \left( W_{ij} \right) }_{ij}}{.} In diesem Fall ist der Invariantenring sogar ein
\definitionsverweis {Monoidring}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Affin-algebraische Gruppen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Eine
\definitionswort {affin-algebraische Gruppe}{}
\zusatzklammer {über $K$} {} {}
ist eine Gruppe $G$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left( \operatorname{Spek} { \left( H \right) } \right) } (K)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $H$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{} \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{}
ist.
}
Eine affin-algebraische Gruppe ist also die Menge der $K$-Punkte eines affinen Gruppenschemas von endlichem Typ. Dazu gehören die endlichen Gruppen, die additive Gruppe
\mathl{(K,+,0)}{,} die multiplikative Gruppe
\mathl{( K^{\times},\cdot,1)}{,} die allgemeine lineare Gruppe, die spezielle lineare Gruppe.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die Gruppe der invertierbaren
\mathl{n\times n}{-}Matrizen. Eine
\definitionsverweis {Zariski-abgeschlossene}{}{}
Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man eine \definitionswort {lineare Gruppe}{}
\zusatzklammer {oder eine
\definitionswort {linear-algebraische Gruppe}{}} {} {.}
}
Man kann zeigen, dass affin-algebraische Gruppen und lineare Gruppen äquivalente Konzepte sind. Das erste Konzept ist begrifflich stärker, während das zweite Konzept die typischen Beispiele abdeckt. Der Zusammenhang beruht im Wesentlichen auf der Hopf-Interpretation der allgemeinen linearen Gruppe, siehe Beispiel 18.6.
Wir reformulieren
Definition 18.9
für eine affin-algebraische Gruppe.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Gruppe}{}{} $G$ über einem Körper $K$, die durch die kommutative $K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{} $H$ gegeben sei, nennt man eine \definitionsverweis {Operation}{}{} von $G$ auf einer kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $R$ \definitionswort {algebraisch}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {regulär}{}} {} {,} wenn sie durch eine \definitionsverweis {Kooperation}{}{} von $H$ auf $R$ gegeben ist.
}