Kurs:Körper- und Galoistheorie/20/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq G}$.
2. Eine ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle {}z}$ in einem Körper ${\displaystyle {}K}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$).
3. Eine algebraische Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
4. Die Kommutatorgruppe einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
5. Eine aus einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq E}$ einer Ebene ${\displaystyle {}E}$ elementar konstruierbare Gerade ${\displaystyle {}G}$.
6. Eine rein transzendente Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. Der Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.
3. /Fakt/Name

Es sei ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0)}$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung ${\displaystyle {}*}$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ derart gegeben, dass ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0,*,1)}$ ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte ${\displaystyle {}1*1=1}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}*}$ die übliche Multiplikation sein muss.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element ${\displaystyle {}g\in G}$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

${\displaystyle g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}}$

alle verschieden sind.

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$.

Beweise den Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.

Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]=L}$.

a) Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$ bezüglich der ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Basis ${\displaystyle {}1,{\sqrt {7}}}$ von ${\displaystyle {}L}$.

b) Bestimme die Norm und die Spur von ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$.

c) Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$.

d) Bestimme das Minimalpolynom zu ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$.

Beweise den Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.

Beschreibe eine konstruierbare Zahl auf dem komplexen Einheitskreis, die keine Einheitswurzel ist.