Kurs:Lineare Algebra/Teil I/43/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge zu einer Familie ${\displaystyle {}M_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$.
2. Die Dimension eines ${\displaystyle {}K}$-Vektorraums ${\displaystyle {}V}$ (${\displaystyle {}V}$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
3. Der Dualraum zu einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Der Grad eines Polynoms ${\displaystyle {}P\in K[X]}$, ${\displaystyle {}P\neq 0}$, über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
5. Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ auf einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ und einem Eigenwert ${\displaystyle {}\lambda \in K}$.
6. Ein affines Erzeugendensystem eines affinen Unterraumes ${\displaystyle {}F}$ in einem affinen Raum ${\displaystyle {}E}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.
2. Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.
3. Der Satz über die Anzahl der Permutationen.

Hanny, Nanny, Fanny und Sanny leben auf dem Ponyhof. Heute machen sie einen Ausflug mit den Ponies Pona, Pone, Pono und Ponu. Jedes der Mädchen sitzt dabei genau auf einem Pony, und sie reiten hintereinander. Folgende Fakten sind bekannt.

1. Fanny sitzt nicht auf Pona.
2. Pone und Ponu vertragen sich nicht so gut und laufen daher nicht direkt hintereinander.
3. Nanny sitzt auf Pone oder auf Pono.
4. Sanny reitet auf Pona oder auf Pone.
5. Nanny reitet direkt hinter Sanny.
6. Auf Ponu sitzt nicht Sanny.
7. Pona läuft direkt zwischen Pone und Pono.
8. Auf Pono sitzt weder Fanny noch Hanny.
9. Sanny reitet weiter vorne als Hanny.

Wer sitzt auf welchem Pony und in welcher Reihenfolge laufen sie?

Betrachte die Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto {\begin{cases}-{\frac {n}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\\{\frac {n+1}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}}$

Ist ${\displaystyle {}f}$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum.

Zu einer Familie von Vektoren ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ in ${\displaystyle {}V}$ heißt bekanntlich

${\displaystyle {}U={\left\{s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid s_{i}\in K\right\}}\,}$

der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum.

Wäre auch die folgende formal ähnliche Begriffsbildung sinnvoll:

„Zu einer Familie von Skalaren ${\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{n}}$ in ${\displaystyle {}K}$ heißt

${\displaystyle {}W={\left\{s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid v_{i}\in V\right\}}\,}$

der von diesen Skalaren erzeugte Untervektorraum“?

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und ${\displaystyle {}U_{1},U_{2}\subseteq V}$ Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass ${\displaystyle {}U_{1}}$ und ${\displaystyle {}U_{2}}$ ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.

Lucy Sonnenschein möchte zwei Kilogramm Kartoffeln, ein Kilogramm Nudeln, ein halbes Kilogramm Blumenkohl und ein Viertel Kilogramm Käse kaufen. An Einkaufsmöglichkeiten stehen der Sparfuchs, das Preisparadies und der Saftladen zur Diskussion, deren Preise für die Produkte (in Euro pro Kilogramm) in der folgenden Tablle aufgelistet sind.

	Kartoffeln	Nudeln	Blumenkohl	Käse
Sparfuchs	${\displaystyle {}1,7}$	${\displaystyle {}1,5}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}4}$
Preisparadies	${\displaystyle {}1,5}$	${\displaystyle {}1,6}$	${\displaystyle {}3,4}$	${\displaystyle {}4}$
Saftladen	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}2,5}$	${\displaystyle {}3}$

Lucy kauft preisbewußt ein.

a) Lucy hat heute wenig Zeit und möchte den Einkauf in einem einzigen Laden erledigen. Welche Einkaufsmöglichkeit ist am günstigsten? Was kostet der Einkauf?

b) Lucy hat heute viel Zeit, sie klappert alle drei Läden ab und nimmt jeweils das günstigste Angebot. Was kostet der Einkauf?

c) Lucy hat heute so mittel viel Zeit und möchte den Einkauf in höchstens zwei Läden erledigen. Was kostet der Einkauf? In welchem Laden kauft sie was?

Die Zeitungen ${\displaystyle {}A,B}$ und ${\displaystyle {}C}$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${\displaystyle {}8000}$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von ${\displaystyle {}A}$ bleiben zu ${\displaystyle {}75\%}$ bei ${\displaystyle {}A}$, ${\displaystyle {}10\%}$ wechseln zu ${\displaystyle {}B}$, ${\displaystyle {}0\%}$ wechseln zu ${\displaystyle {}C}$ und ${\displaystyle {}15\%}$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von ${\displaystyle {}B}$ bleiben zu ${\displaystyle {}70\%}$ bei ${\displaystyle {}B}$, ${\displaystyle {}10\%}$ wechseln zu ${\displaystyle {}A}$, ${\displaystyle {}10\%}$ wechseln zu ${\displaystyle {}C}$ und ${\displaystyle {}10\%}$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von ${\displaystyle {}C}$ bleiben zu ${\displaystyle {}50\%}$ bei ${\displaystyle {}C}$, ${\displaystyle {}5\%}$ wechseln zu ${\displaystyle {}A}$, ${\displaystyle {}20\%}$ wechseln zu ${\displaystyle {}B}$ und ${\displaystyle {}25\%}$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${\displaystyle {}15\%}$ für ein Abonnement von ${\displaystyle {}A,B}$ oder ${\displaystyle {}C}$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${\displaystyle {}1500}$ Abonnenten und es gibt ${\displaystyle {}3500}$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${\displaystyle {}8000}$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.

Bestimme die inverse Matrix zu

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&5&0\\7&2&2\\0&0&-1\end{pmatrix}}.}$

Betrachte die Permutation ${\displaystyle {}\tau \in S_{7}}$, die durch die Wertetabelle

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}6}$	${\displaystyle {}7}$
${\displaystyle {}\tau (x)}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}7}$	${\displaystyle {}6}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}2}$

gegeben ist.

a) Man gebe die Zyklendarstellung von ${\displaystyle {}\tau }$ an und bestimme den Wirkungsbereich.

b) Berechne ${\displaystyle {}\tau ^{3}}$ und die Ordnung von ${\displaystyle {}\tau ^{3}}$.

c) Bestimme die Fehlstände von ${\displaystyle {}\tau }$ und das Vorzeichen (Signum) von ${\displaystyle {}\tau }$.

d) Schreibe ${\displaystyle {}\tau }$ als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von ${\displaystyle {}\tau }$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper mit ${\displaystyle {}2\neq 0}$ und sei ${\displaystyle {}K[X]_{\leq 2}}$ der ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum aller Polynome vom Grad ${\displaystyle {}\leq 2}$. Zu ${\displaystyle {}z\in K}$ bezeichne ${\displaystyle {}\operatorname {Ev} _{z}}$ die Auswertung an ${\displaystyle {}z}$, also die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq 2}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\operatorname {Ev} _{z}}$ linear ist.

b) Beschreibe die Auswertung an ${\displaystyle {}5}$ als Linearkombinationen der Auswertungen an ${\displaystyle {}1}$, an ${\displaystyle {}0}$ und an ${\displaystyle {}-1}$.

c) Überprüfe das Ergebnis aus (b) für das Polynom ${\displaystyle {}3X^{2}-4X+7}$.

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.

Beweise den Satz über die Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.

Ergänze die reelle Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}5&10\\&-5\end{pmatrix}}}$

zu einer nilpotenten Matrix.

Eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}11&3&1\\0&11&2\\0&0&11\end{pmatrix}}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${\displaystyle {}\varphi }$ durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}11&1&0\\0&11&1\\0&0&11\end{pmatrix}}}$

beschrieben wird.

Beweise den Satz über baryzentrische Koordinaten.