Kurs:Lineare Algebra/Teil II/4/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Orthogonale Vektoren ${\displaystyle {}v,w\in V}$ in einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.
2. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ bezüglich einer Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ von ${\displaystyle {}V}$.
3. Ein selbstadjungierter Endomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.

4. Der Index einer Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq G}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
5. Eine Ordnungsrelation ${\displaystyle {}\preccurlyeq }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}I}$.
6. Eine Körpererweiterung.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Polarisationsformel für ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.
2. Der Charakterisierungssatz für eine eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Berechne das komplexe Standardskalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle {\mathrm {i} },{\mathrm {i} }\right\rangle }$.

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}}$

des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ an.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ euklidische Vektorräume und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}\varphi }$ ist eine Isometrie.
2. Für jede Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{i},i=1,\ldots ,n}$, von ${\displaystyle {}V}$ ist ${\displaystyle {}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n}$, Teil einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}W}$.
3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{i},i=1,\ldots ,n}$, von ${\displaystyle {}V}$ derart, dass ${\displaystyle {}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n}$, Teil einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}W}$ ist.

Wir betrachten das Dreieck, das durch die Ecken ${\displaystyle {}(0,0),(2,0),(0,1)}$ gegeben ist. Bestimme die Schnittpunkte der Dreiecksseiten mit der durch

${\displaystyle {}y=2x-1\,}$

gegebenen Geraden.

Es seien ${\displaystyle {}A,B}$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass die Mittelsenkrechte zu ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ aus allen Punkten besteht, die zu ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ den gleichen Abstand haben.

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}5&0&0\\0&2&-3\\0&-3&4\end{pmatrix}}}$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ auf einen ${\displaystyle {}n-1}$-dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?

Zeige anhand der Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},}$

dass ein ${\displaystyle {}\varphi }$- invarianter Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ nicht invariant unter dem adjungierten Endomorphismus ${\displaystyle {}{\hat {\varphi }}}$ sein muss.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine kommutative Gruppe und

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H}$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${\displaystyle {}H}$ ebenfalls kommutativ ist.

Bestimme, ob die beiden Basen des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},}$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

a) Zeige, dass die Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$ nicht die eigentliche Symmetriegruppe einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ ist.

b) Zeige, dass man die Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$ als Untergruppe der vollen Isometriegruppe ${\displaystyle {}\operatorname {O} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$ realisieren kann.

Betrachte die eigentliche Symmetriegruppe eines Quaders mit drei verschiedenen Seitenlängen. Bei ihm ist zu jeder Geraden durch gegenüberliegende Seitenmittelpunkte die Halbdrehung um diese Achse eine Symmetrie. Widerspricht dies nicht Teil (a)?

Der Matrizenraum ${\displaystyle {}\operatorname {Mat} _{n}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ sei mit der euklidischen Norm (bezogen auf die ${\displaystyle {}n^{2}}$ Einträge) versehen. Zeige, dass ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrizen ${\displaystyle {}A,B}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}\mid \mid \!A\circ B\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }\leq \mid \mid \!A\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }\cdot \mid \mid \!B\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }\,}$

erfüllen.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine spaltenstochastische Matrix, bei der eine Zeile ausschließlich aus positiven Einträgen bestehe. Zeige, dass die Folge ${\displaystyle {}M^{n}}$ gegen eine Matrix ${\displaystyle {}N}$ konvergiert, bei der jede Spalte gleich ist.

Beweise die universelle Eigenschaft des Dachprodukts.