Kurs:Lineare Algebra/Teil II/6/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ in einem ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.
2. Eine winkeltreue Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.

3. Eine hermitesche Matrix.
4. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

5. Die Stetigkeit einer Abbildung

   ${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

   zwischen metrischen Räumen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}x\in L}$.

6. Den durch Körperwechsel ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ aus einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ gewonnenen ${\displaystyle {}L}$-Vektorraum.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Kosinussatz.
2. Der Satz über den Abstand eines Vektors ${\displaystyle {}v}$ zu einem Untervektorraum ${\displaystyle {}U}$ in einem euklidischen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
3. Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.

Man gebe ein Beispiel für eine (achsensymmetrische) Ellipse ${\displaystyle {}E}$ im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ und eine bijektive lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ mit ${\displaystyle {}\varphi (E)=E}$, die keine Isometrie ist.

Beweise den Kosinussatz.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$- Vektorraum und es seien

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

und

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow V}$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung ${\displaystyle {}\varphi \circ \psi }$ linear ist.

Es seien ${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}V}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$- Vektorräume mit symmetrischen Bilinearformen ${\displaystyle {}\Psi _{U}}$ und ${\displaystyle {}\Psi _{V}}$.

a) Zeige, dass auf ${\displaystyle {}U\oplus V}$ durch

${\displaystyle {}\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}))=\Psi _{U}(u_{1},u_{2})+\Phi _{V}(v_{1},v_{2})\,}$

eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei ${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}V}$ orthogonal zueinander sind.

b) Es sei ${\displaystyle {}G}$ die Gramsche Matrix von ${\displaystyle {}\Psi _{U}}$ bezüglich einer Basis von ${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}H}$ die Gramsche Matrix von ${\displaystyle {}\Psi _{V}}$ bezüglich einer Basis von ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Blockmatrix aus ${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$ die Gramsche Matrix von ${\displaystyle {}\Theta }$ bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.

c) Der Typ der Bilinearformen sei ${\displaystyle {}(p,q)}$ bzw. ${\displaystyle {}(p',q')}$. Zeige, dass der Typ von ${\displaystyle {}\Theta }$ gleich ${\displaystyle {}(p+p',q+q')}$ ist.

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2-3{\mathrm {i} }&4+5{\mathrm {i} }\\11-3{\mathrm {i} }&6+9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}}$

gegebene lineare Abbildung ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}}$ eine Orthonormalbasis des ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{2}}$ aus Eigenvektoren gibt.

Zeige, dass die Relation auf ${\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {N} }$, die durch

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}a+d=b+c,}$

festgelegt ist, eine Äquivalenzrelation ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle {}g\in G}$ ein Element, und seien ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {Z} }$ ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

1. Es ist ${\displaystyle {}g^{0}=e_{G}}$.
2. Es ist ${\displaystyle {}g^{m+n}=g^{m}g^{n}}$.

Wir betrachten den Würfel.

Es sei ${\displaystyle {}\alpha }$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}G}$, die den Eckpunkt ${\displaystyle {}B}$ auf ${\displaystyle {}D}$ schickt, und es sei ${\displaystyle {}\beta }$ die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche ${\displaystyle {}A,B,C,D}$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche ${\displaystyle {}E,F,G,H}$ läuft).

a) Man gebe die Wertetabellen für die Permutationen auf der Eckpunktmenge ${\displaystyle {}\{A,B,C,D,E,F,G,H\}}$, die durch ${\displaystyle {}\alpha ,\beta ,\alpha \beta }$ und ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von ${\displaystyle {}\alpha \beta }$ und von ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von ${\displaystyle {}\alpha ^{2}}$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ${\displaystyle {}\alpha ^{1001}}$?

d) Man betrachte die Permutation ${\displaystyle {}\sigma }$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$
${\displaystyle {}\sigma (x)}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von ${\displaystyle {}\sigma }$.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale normierte ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorräume. Zeige, dass auf dem Homomorphismenraum ${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{}{\left(V,W\right)}}$ die Maximumsnorm in der Tat eine Norm ist.

Wir betrachten eine stochastische Matrix, bei der jede Spalte gleich ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}}$ ist. Bestimme die Eigenverteilung und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix.

Beweise den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.