Kurs:Lineare Algebra/Teil II/6/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ in einem ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.
2. Eine winkeltreue Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.

3. Eine hermitesche Matrix.
4. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

5. Die Stetigkeit einer Abbildung

   ${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

   zwischen metrischen Räumen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}x\in L}$.

6. Den durch Körperwechsel ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ aus einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ gewonnenen ${\displaystyle {}L}$-Vektorraum.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Kosinussatz.
2. Der Satz über den Abstand eines Vektors ${\displaystyle {}v}$ zu einem Untervektorraum ${\displaystyle {}U}$ in einem euklidischen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
3. Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.

Man gebe ein Beispiel für eine (achsensymmetrische) Ellipse ${\displaystyle {}E}$ im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ und eine bijektive lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ mit ${\displaystyle {}\varphi (E)=E}$, die keine Isometrie ist.

Wir betrachten die durch die Gleichung

${\displaystyle {}2x^{2}+{\frac {1}{2}}y^{2}=1\,}$

gegebene Ellipse und die durch die Matrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}\,}$

gegebene bijektive lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$. Es ist also

${\displaystyle {}\varphi {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}y\\2x\end{pmatrix}}\,.}$

Wenn ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ ein Punkt auf der Ellipse ist, also die Ellipsengleichung erfüllt, so gilt für den Bildpunkt

${\displaystyle {}2{\left({\frac {1}{2}}y\right)}^{2}+{\frac {1}{2}}{\left(2x\right)}^{2}={\frac {1}{2}}y^{2}+2x^{2}=1\,,}$

d.h. er liegt ebenfalls auf der Ellipse. Die Ellipse wird also unter der Abbildung auf sich selbst abgebildet. Die Abbildung ist keine Isometrie, da der erste Standardvektor auf den Vektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}}$ abgebildet wird, der die Norm ${\displaystyle {}2}$ besitzt.

Beweise den Kosinussatz.

Es sei

${\displaystyle {}u={\overrightarrow {CB}}\,}$

und

${\displaystyle {}v={\overrightarrow {CA}}\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}w={\overrightarrow {AB}}=u-v\,.}$

Die Längen dieser Vektoren sind ${\displaystyle {}a,b,c}$. Somit gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}c^{2}&=\Vert {u-v}\Vert ^{2}\\&=\left\langle u-v,u-v\right\rangle \\&=\left\langle u,u\right\rangle +\left\langle v,v\right\rangle -2\left\langle u,v\right\rangle \\&=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}-2\Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert \cos \gamma \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$- Vektorraum und es seien

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

und

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow V}$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung ${\displaystyle {}\varphi \circ \psi }$ linear ist.

Da beide Abbildungen mit der Addition verträglich sind, gilt dies auch für die Verknüpfung. Für einen Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ und einen Skalar ${\displaystyle {}s\in {\mathbb {C} }}$ gilt

${\displaystyle {}(\varphi \circ \psi )(sv)=\varphi (\psi (sv))=\varphi ({\overline {s}}\psi (v))={\overline {\overline {s}}}\varphi (\psi (v))=s(\varphi \circ \psi )(v)\,,}$

also ist ${\displaystyle {}\varphi \circ \psi }$ linear.

Es seien ${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}V}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$- Vektorräume mit symmetrischen Bilinearformen ${\displaystyle {}\Psi _{U}}$ und ${\displaystyle {}\Psi _{V}}$.

a) Zeige, dass auf ${\displaystyle {}U\oplus V}$ durch

${\displaystyle {}\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}))=\Psi _{U}(u_{1},u_{2})+\Phi _{V}(v_{1},v_{2})\,}$

eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei ${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}V}$ orthogonal zueinander sind.

b) Es sei ${\displaystyle {}G}$ die Gramsche Matrix von ${\displaystyle {}\Psi _{U}}$ bezüglich einer Basis von ${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}H}$ die Gramsche Matrix von ${\displaystyle {}\Psi _{V}}$ bezüglich einer Basis von ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Blockmatrix aus ${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$ die Gramsche Matrix von ${\displaystyle {}\Theta }$ bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.

c) Der Typ der Bilinearformen sei ${\displaystyle {}(p,q)}$ bzw. ${\displaystyle {}(p',q')}$. Zeige, dass der Typ von ${\displaystyle {}\Theta }$ gleich ${\displaystyle {}(p+p',q+q')}$ ist.

a) Wegen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}))&=\Psi _{U}(u_{1},u_{2})+\Phi _{V}(v_{1},v_{2})\\&=\Psi _{U}(u_{2},u_{1})+\Phi _{V}(v_{2},v_{1})\\&=\Theta ((u_{2},v_{2}),(u_{1},v_{1}))\end{aligned}}}$

ist die Abbildung symmetrisch. Daher genügt es, die Linearität in der ersten Komponente zu zeigen. Diese ergibt sich aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Theta (a(u_{1},v_{1})+b(u_{2},v_{2}),(u_{3},v_{3}))&=\Theta ((au_{1}+bu_{2},av_{1}+bv_{2}),(u_{3},v_{3}))\\&=\Psi _{U}(au_{1}+bu_{2},u_{3})+\Phi _{V}(av_{1}+bv_{2},v_{3})\\&=a\Psi _{U}(u_{1},u_{3})+b\Psi _{U}(u_{2},u_{3})+a\Psi _{V}(v_{1},v_{3})+b\Psi _{V}(v_{2},v_{3})\\&=a(\Psi _{U}(u_{1},u_{3})+\Psi _{V}(v_{1},v_{3}))+b(\Psi _{U}(u_{2},u_{3})+\Psi _{V}(v_{2},v_{3}))\\&=a\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{3},v_{3}))+b\Theta ((u_{2},v_{2}),(u_{3},v_{3})).\end{aligned}}}$

Die Orthogonalität ergibt sich aus

${\displaystyle {}\Theta ((u,0),(0,v))=\Psi _{U}(u,0)+\Psi _{V}(0,v)=0+0=0\,.}$

b) Es seien ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{m}}$ und ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{m}}$ die Basen und entsprechend ${\displaystyle {}(u_{i},0),(0,v_{k})}$ die zusammengesetzte Basis von ${\displaystyle {}U\oplus V}$. Die Einträge der Gramschen Matrix von ${\displaystyle {}\Theta }$ sind

${\displaystyle {}\Theta ((u_{i},0),(u_{j},0))=\Psi _{U}(u_{i},u_{j})+\Psi _{V}(0,0)=\Psi _{U}(u_{i},u_{j})\,,}$

${\displaystyle {}\Theta ((0,v_{k}),(0,v_{\ell }))=\Psi _{U}(0,0)+\Psi _{V}(v_{k},v_{\ell })=\Psi _{V}(v_{k},v_{\ell })\,,}$

${\displaystyle {}\Theta ((u_{i},0),(0,v_{k}))=\Psi _{U}(u_{i},0)+\Psi _{V}(0,v_{k})=0\,,}$

sodass die Blockgestalt aus den einzelnen Gramschen Matrizen vorliegt.

c) Wir ziehen den Sylvesterschen Trägheitssatz heran. Es seien beide Basen Orthogonalbasen, die zusammengesetzte Basis ist dann ebenfalls eine Orthogonalbasis. Im ersten Block stehen dann in der Diagonale ${\displaystyle {}p}$ Einsen, ${\displaystyle {}q}$ Minuseinsen und ${\displaystyle {}m-p-q}$ Nullen und im zweiten Block stehen in der Diagonale ${\displaystyle {}p'}$ Einsen, ${\displaystyle {}q'}$ Minuseinsen und ${\displaystyle {}n-p'-q'}$ Nullen. Insgesamt stehen dort also ${\displaystyle {}p+p'}$ Einsen und ${\displaystyle {}q+q'}$ Minuseinsen.

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2-3{\mathrm {i} }&4+5{\mathrm {i} }\\11-3{\mathrm {i} }&6+9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}}$

gegebene lineare Abbildung ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}}$ eine Orthonormalbasis des ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{2}}$ aus Eigenvektoren gibt.

Es sei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}2-3{\mathrm {i} }&4+5{\mathrm {i} }\\11-3{\mathrm {i} }&6+9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.}$

Die adjungierte Abbildung wird durch

${\displaystyle {}N={{\overline {M}}^{\text{tr}}}={\begin{pmatrix}2+3{\mathrm {i} }&11+3{\mathrm {i} }\\4-5{\mathrm {i} }&6-9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,}$

beschrieben. Wegen

${\displaystyle {}(2-3{\mathrm {i} })(2+3{\mathrm {i} })+(4+5{\mathrm {i} })(4-5{\mathrm {i} })=(2-3{\mathrm {i} })(2+3{\mathrm {i} })+41\,}$

und

${\displaystyle {}(2-3{\mathrm {i} })(2+3{\mathrm {i} })+(11+3{\mathrm {i} })(11-3{\mathrm {i} })=(2-3{\mathrm {i} })(2+3{\mathrm {i} })+130\,}$

ist

${\displaystyle {}M\circ N\neq N\circ M\,.}$

Der Endomorphismus ist also nicht normal und daher gibt es nach Satz 42.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.

Zeige, dass die Relation auf ${\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {N} }$, die durch

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}a+d=b+c,}$

festgelegt ist, eine Äquivalenzrelation ist.

1. Wegen ${\displaystyle {}a+b=b+a}$ ist ${\displaystyle {}(a,b)\sim (a,b)}$, die Relation ist also reflexiv.
2. Die Symmetrie folgt daraus, dass aus ${\displaystyle {}a+d=b+c}$ sofort ${\displaystyle {}c+b=d+a}$ folgt.
3. Zum Nachweis der Transitivität sei ${\displaystyle {}(a,b)\sim (c,d)}$ und ${\displaystyle {}(c,d)\sim (e,f)}$, also ${\displaystyle {}a+d=b+c}$ und ${\displaystyle {}c+f=d+e}$. Dann ist

   ${\displaystyle {}a+f+c=a+d+e=b+e+c\,.}$

   Aufgrund der Abziehregel ist dann

   ${\displaystyle {}a+f=b+e\,,}$

   und dies bedeutet ${\displaystyle {}(a,b)\sim (e,f)}$.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle {}g\in G}$ ein Element, und seien ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {Z} }$ ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

1. Es ist ${\displaystyle {}g^{0}=e_{G}}$.
2. Es ist ${\displaystyle {}g^{m+n}=g^{m}g^{n}}$.

Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen ${\displaystyle {}\geq 0}$ oder beide ${\displaystyle {}\leq 0}$ sind. Es sei also ${\displaystyle {}m}$ positiv und ${\displaystyle {}n}$ negativ. Bei ${\displaystyle {}m\geq -n}$ kann man in ${\displaystyle {}g^{m}g^{n}}$ „innen“ ${\displaystyle {}-n}$-mal ${\displaystyle {}g}$ mit ${\displaystyle {}g^{-1}}$ zu ${\displaystyle {}e_{G}}$ kürzen, und übrig bleibt die ${\displaystyle {}m-(-n)=(m+n)}$-te Potenz von ${\displaystyle {}g}$, also ${\displaystyle {}g^{m+n}}$. Bei ${\displaystyle {}m<-n}$ kann man ${\displaystyle {}m}$-mal ${\displaystyle {}g}$ mit ${\displaystyle {}g^{-1}}$ kürzen und übrig bleibt die ${\displaystyle {}-n-m=-(m+n)}$- te Potenz von ${\displaystyle {}g^{-1}}$. Das ist wieder ${\displaystyle {}g^{m+n}}$.

Wir betrachten den Würfel.

Es sei ${\displaystyle {}\alpha }$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}G}$, die den Eckpunkt ${\displaystyle {}B}$ auf ${\displaystyle {}D}$ schickt, und es sei ${\displaystyle {}\beta }$ die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche ${\displaystyle {}A,B,C,D}$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche ${\displaystyle {}E,F,G,H}$ läuft).

a) Man gebe die Wertetabellen für die Permutationen auf der Eckpunktmenge ${\displaystyle {}\{A,B,C,D,E,F,G,H\}}$, die durch ${\displaystyle {}\alpha ,\beta ,\alpha \beta }$ und ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von ${\displaystyle {}\alpha \beta }$ und von ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von ${\displaystyle {}\alpha ^{2}}$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ${\displaystyle {}\alpha ^{1001}}$?

d) Man betrachte die Permutation ${\displaystyle {}\sigma }$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$
${\displaystyle {}\sigma (x)}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von ${\displaystyle {}\sigma }$.

a) Die Wertetabellen für die angegebenen Permutationen sind

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$
${\displaystyle {}\alpha (x)}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}H}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}F}$

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$
${\displaystyle {}\beta (x)}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$
${\displaystyle {}\alpha \beta (x)}$	${\displaystyle {}H}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$
${\displaystyle {}\beta \alpha (x)}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}H}$

b) Die Drehachse von ${\displaystyle {}\alpha \beta }$ ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte ${\displaystyle {}D}$ und ${\displaystyle {}F}$ und die Drehachse von ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte ${\displaystyle {}B}$ und ${\displaystyle {}H}$. Beides sind Dritteldrehungen, ihre Ordnung ist 3.

c) Aus der Wertetabelle für ${\displaystyle {}\alpha }$ kann man leicht diejenige für ${\displaystyle {}\alpha ^{2}}$ errechnen, und damit auch die Zykledarstellung. Diese ist

${\displaystyle \langle B,E,D\rangle \langle C,F,H\rangle .}$

Die Ordnung von ${\displaystyle {}\alpha }$ ist 3, daher ist ${\displaystyle {}\alpha ^{1001}=\alpha ^{2}}$.

d) ${\displaystyle {}\sigma }$ stimmt auf den unteren Eckpunkten ${\displaystyle {}E,F,G,H}$ mit der durch ${\displaystyle {}\beta }$ definierten Permutation überein. Würde ${\displaystyle {}\sigma }$ von einer Würfelbewegung ${\displaystyle {}\gamma }$ herrühren, so wäre ${\displaystyle {}\beta \gamma ^{-1}}$ die Identität auf der unteren Ebenen und müßte dann überhaupt die Identität sein. Dann wäre

${\displaystyle {}\beta =\gamma \,,}$

was aber wegen

${\displaystyle {}\beta (A)=C\neq B=\gamma (A)\,}$

nicht der Fall ist.

${\displaystyle {}\sigma }$ hat die Zykeldarstelung

${\displaystyle {}\sigma =\langle A,B,C,D\rangle \langle E,G\rangle \langle H,F\rangle \,,}$

die wir als Produktdarstellung lesen. Der vordere Zykel ist als Produkt geschrieben

${\displaystyle {}\langle A,B,C,D\rangle =\langle B,C\rangle \langle C,D\rangle \langle D,A\rangle \,.}$

Insgesamt ist ${\displaystyle {}\sigma }$ das Produkt von ${\displaystyle {}5}$ Transpositionen und daher ist das Signum ${\displaystyle {}-1}$.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale normierte ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorräume. Zeige, dass auf dem Homomorphismenraum ${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{}{\left(V,W\right)}}$ die Maximumsnorm in der Tat eine Norm ist.

Wir betrachten eine stochastische Matrix, bei der jede Spalte gleich ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}}$ ist. Bestimme die Eigenverteilung und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix.

Wegen

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}p_{1}&p_{1}&\ldots &p_{1}\\p_{2}&p_{2}&\ldots &p_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n}&p_{n}&\ldots &p_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n})\\p_{2}(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n})\\\vdots \\p_{n}(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}\,}$

ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}}$ die Eigenverteilung dieser Matrix.

Der Kern besitzt die Dimension ${\displaystyle {}n-1}$ und wird durch die linear unabhängigen Vektoren ${\displaystyle {}e_{1}-e_{2},e_{1}-e_{3},\ldots ,e_{1}-e_{n}}$ erzeugt.

Beweise den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt.  Da die Elemente der Form ${\displaystyle {}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}}$ nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (1) ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}\bigwedge ^{n}V}$ bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes ${\displaystyle {}w_{j}}$ gibt es eine Darstellung ${\displaystyle {}w_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}v_{i}}$, daher kann man nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (4) die ${\displaystyle {}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}}$ als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also ${\displaystyle {}v_{k_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{k_{n}}}$ gegeben mit ${\displaystyle {}k_{j}\in \{1,\ldots ,m\}}$. Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (2) das Dachprodukt ${\displaystyle {}0}$. Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Lemma 14.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)), dass es zu jeder ${\displaystyle {}n}$-elementigen Teilmenge ${\displaystyle {}I=\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq \{1,\ldots ,m\}}$ (mit ${\displaystyle {}i_{1}<\ldots <i_{n}}$) eine ${\displaystyle {}K}$-lineare Abbildung

${\displaystyle \bigwedge ^{n}V\longrightarrow K}$

gibt, die ${\displaystyle {}v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}}$ nicht auf ${\displaystyle {}0}$ abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf ${\displaystyle {}0}$ abbildet. Dazu genügt es nach Satz 57.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)), eine alternierende multilineare Abbildung

${\displaystyle \triangle \colon V^{n}\longrightarrow K}$

anzugeben mit ${\displaystyle {}\triangle {\left(v_{i_{1}},\ldots ,v_{i_{n}}\right)}\neq 0}$, aber mit ${\displaystyle {}\triangle {\left(v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{n}}\right)}=0}$ für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei ${\displaystyle {}U}$ der von den ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\neq i_{k}}$, erzeugte Untervektorraum von ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W=V/U}$ der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der ${\displaystyle {}v_{i_{k}}}$, ${\displaystyle {}k=1,\ldots ,n}$, eine Basis von ${\displaystyle {}W}$, und die Bilder von allen anderen ${\displaystyle {}n}$-Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf ${\displaystyle {}0}$ geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung

${\displaystyle \triangle :V^{n}\longrightarrow W^{n}\cong (K^{n})^{n}{\stackrel {\det }{\longrightarrow }}K.}$

Diese Abbildung ist nach Satz 16.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) multilinear und nach Satz 16.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) alternierend. Nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist ${\displaystyle {}\triangle (z_{1},\ldots ,z_{n})=0}$ genau dann, wenn die Bilder von ${\displaystyle {}z_{i}}$ in ${\displaystyle {}W}$ keine Basis bilden.