Kurs:Lineare Algebra II/Vektorräume (Ergänzungen)

Wir wollen hier zwei allgemeine Konstruktionen mit Vektorräumen ergänzen, die auch bei anderen Strukturen immer wiederkehren werden.

Betrachten wir lineare Gleichungssysteme ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$, mit fester Koeffizientenmatrix ${\displaystyle A}$ und variabler rechter Seite ${\displaystyle \mathbf {b} \in K^{m}}$. Dann sind die Lösungsmengen affine Unterräume mit gleichem Untervektorraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}(A,\mathbf {b} )=\mathbf {x} +{\mathcal {H}}_{0}(A)}$, wobei ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {b} )}$ eine spezielle (aber beliebige) Lösung von ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ist (sofern es überhaupt eine Lösung gibt). Wir wissen bereits: Sind ${\displaystyle {\mathcal {H}}(A,\mathbf {b} _{1})=\mathbf {x} _{1}+{\mathcal {H}}_{0}(A)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}(A,\mathbf {b} _{2})=\mathbf {x} _{2}+{\mathcal {H}}_{0}(A)}$, dann sind ${\displaystyle {\mathcal {H}}(A,\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2})=(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})+{\mathcal {H}}_{0}(A),\ {\mathcal {H}}(A,r\mathbf {b} _{1})=(r\mathbf {x} _{1})+{\mathcal {H}}_{0}(A)}$. Damit erhält die Menge der Lösungsräume ${\displaystyle \{{\mathcal {H}}(A,\mathbf {b} )|\mathbf {b} \in {\mathcal {S}}(A)\}}$ die Struktur eines Vektorraumes.
Jeder Unterraum ${\displaystyle U\subseteq V}$ induziert auf ${\displaystyle V}$ ein Äquivalenzrelation ${\displaystyle \mathbf {x} \sim _{U}\mathbf {y} }$ gdw. ${\displaystyle \mathbf {x} -\mathbf {y} \in U}$. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle V/U}$ die Menge der zugehörigen Äquivalenzklassen ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} +U}$.

${\displaystyle V/U}$ ist ein ${\displaystyle K}$-Vektorraum, genannt der Quotientenraum von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle U}$, durch die folgende Festsetzung der Addition und skalaren Multiplikation ${\displaystyle (\mathbf {x} +U)+(\mathbf {y} +U):=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+U}$ und ${\displaystyle r(\mathbf {x} +U):=(r\mathbf {x} )+U}$.

Die natürliche Abbildung ${\displaystyle p_{U}:V\to V/U,\mathbf {x} \mapsto {\overline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} +U}$ ist eine surjektive lineare Abbildung mit ${\displaystyle ker(p_{U})=U}$. Insbesondere gilt ${\displaystyle \dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)}$.

Beispiel: Sei ${\displaystyle V=K[X],f(X)\in K[X],U=\{hf|h\in K[X]\}}$, dann gilt ${\displaystyle \dim(V/U)=d=\deg(f)}$ und ${\displaystyle V/U=Lin\{{\overline {1}},{\overline {X}},{\overline {X}}^{2},...,{\overline {X}}^{d-1}\}}$.

Sei ${\displaystyle L:V\to W}$ eine lineare Abbildung, dann gibt es eine eindeutige lineare Abbildung ${\displaystyle L':V/ker(L)\to W}$ mit ${\displaystyle L=L'\circ p_{ker(L)}}$. Dabei induziert ${\displaystyle L'}$ einen Isomorphismus ${\displaystyle V/ker(L)\cong im(L)}$.

Dabei entsprechen die Elemente von ${\displaystyle V/ker(L)}$ den Fasern (Urbildmengen) von ${\displaystyle L}$.
Die Konstruktion von Restklassenstrukturen ist nicht an Vektorräume gebunden. Dahinter steckt ein allgemeines Prinzip. Dies gilt auch für den folgenden Isomorphiesatz.

Sind ${\displaystyle U_{1}}$ und ${\displaystyle U_{2}}$ Unterräume von ${\displaystyle V}$, dann gilt ${\displaystyle (U_{1}+U_{2})/U_{1}\cong U_{2}/(U_{1}\cap U_{2})}$.

Der duale Raum ${\displaystyle V^{*}}$ eines Vektorraumes ${\displaystyle V}$ ist der Raum der linearen Funktionale ${\displaystyle V^{*}:=Hom(V,K)}$.

Beispiel: Der duale Raum von ${\displaystyle Mat(n,1)}$ ist ${\displaystyle Mat(1,n)}$ und umgekehrt, der duale Raum von ${\displaystyle K[X]}$ ist isomorph zu ${\displaystyle K^{\mathbb {N} }}$. Eigenschaften und spezielle Konstruktionen:

• Die Anwendung linearer Funktionale auf Vektoren induziert eine (kanonische) Bilinearform ${\displaystyle V^{*}\times V\to K,(\mathbf {x} ^{*},\mathbf {y} )\mapsto [\mathbf {x} ^{*},\mathbf {y} ]:=\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {y} )}$.
• Zu jeder Basis ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle V}$ gibt es eine eindeutig bestimmte Basis ${\displaystyle B^{*}}$ von ${\displaystyle V^{*}}$, genannt duale Basis zu ${\displaystyle B}$. Dabei wird ${\displaystyle \mathbf {v} _{j}^{*}}$ durch lineare Fortsetzung der Zuordnung ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\mapsto \delta _{ij}}$ definiert. Dann gelten ähnliche Rechenregeln wie für ONBs, beispielsweise bestimmen sich die Koordinaten eines Vektors bzgl. ${\displaystyle B}$ durch ${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}\mathbf {v} _{i}^{*}(\mathbf {x} )\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}[\mathbf {v} _{i}^{*},\mathbf {x} ]\mathbf {v} _{i}}$.
• Zu einem Unterraum ${\displaystyle U\subseteq V}$ lässt sich ein Unterraum ${\displaystyle Ann(U)\subseteq V^{*}}$ zuordnen

${\displaystyle Ann(U):=\{\mathbf {v} ^{*}\in V^{*}|[\mathbf {v} ^{*},\mathbf {u} ]=0\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } \mathbf {u} \in U\}}$.

Testfrage: Man bestimme ${\displaystyle \dim(Ann(U))}$ als Funktion von ${\displaystyle \dim(U)}$.

• Ein endlich-dimensionaler Vektorraum ${\displaystyle V}$ ist isomorph zu seinem dualen Raum ${\displaystyle V^{*}}$ (allein aus Dimensionsgründen), es gibt jedoch keinen ausgezeichneten Isomorphismus, der basisunabhängig definiert werden kann.
• Dagegen ist die Abbildung ${\displaystyle i:V\to V^{**}}$, wobei ${\displaystyle i(\mathbf {x} )}$ durch die Festlegung ${\displaystyle [i(\mathbf {x} ),\mathbf {y} ']=[\mathbf {y} ',\mathbf {x} ]}$ für alle ${\displaystyle \mathbf {y} '\in V^{*}}$ bestimmt ist, ein kanonischer Isomorphismus für jeden endlich erzeugten Vektorraum.
• Ist ein endlich erzeugter Vektorraum euklidisch, dann existiert ein basisunabhängiger Isomorphismus induziert durch das Skalarprodukt ${\displaystyle V\cong V^{*}}$ durch ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \langle \mathbf {x} ,-\rangle }$.
• Jeder linearen Abbildung ${\displaystyle L:V\to W}$ ist eine duale (oder auch adjungierte) lineare Abbildung ${\displaystyle L^{*}:W^{*}\to V^{*}}$ zugeordnet. Dabei wird ${\displaystyle L^{*}}$ definiert durch ${\displaystyle [L^{*}(\mathbf {w} ^{*}),\mathbf {v} ]=[\mathbf {w} ^{*},L(\mathbf {v} )]}$.

Beispiel für nützliche Aussagen in Termen dualer Räume:

• ${\displaystyle ker(L^{*})=Ann(im(L))}$,
• ${\displaystyle (V/U)^{*}\cong Ann(U)}$,
• ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ist lösbar gdw. ${\displaystyle \mathbf {b} ^{t}\in Ann({\mathcal {H}}_{0}(A^{t}))}$ oder anders geschrieben: ${\displaystyle im(L_{A})=Ann(ker(L_{A}^{*}))}$.

Anwendungsbeispiel: Langrangesche Interpolationspolynome
Betrachte ${\displaystyle V^{*}}$ zu ${\displaystyle V=K[X]_{d}}$, den Polynomen von Grad ${\displaystyle \leq d}$, dann bilden die Evaluierungsabbildungen ${\displaystyle \xi _{i}:f(X)\mapsto f(t_{i})}$ in ${\displaystyle (d+1)}$ verschiedenen Werten ${\displaystyle t_{0},...,t_{d}\in K}$ eine Basis ${\displaystyle B_{0}}$ von ${\displaystyle V^{*}}$. Wir suchen eine Basis ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle V}$, so dass die duale Basis ${\displaystyle B^{*}}$ mit ${\displaystyle B_{0}}$ übereinstimmt.
Lösung: Die Lagrange-Polynome ${\displaystyle L_{j}(X)=\prod _{i\neq j}^{d}{\frac {X-t_{i}}{t_{j}-t_{i}}}}$ bilden die gesuchte Basis ${\displaystyle B}$. Wir wollen ein Polynom ${\displaystyle f\in V}$ finden, dass an den Stellen ${\displaystyle x_{j}}$ vorgegebene Werte annehmen soll: ${\displaystyle f(t_{j})=a_{j}}$. Dann gilt ${\displaystyle f=\sum _{j}a_{j}L_{j}(X)}$.