Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Häufige Fehler/immer

Viele scheinen nicht verstanden zu haben, was zu zeigen ist, wenn man z.B. eine kommutative Gruppe nachweisen möchte. Es reicht NICHT nur das Kommutativgesetz nachzuweisen. Dann fehlt der Nachweis, dass es sich um eine Gruppe handelt. Um zu zeigen, dass $(\mathbb {Z} ,+,0)$ eine kommuative Gruppe ist, müssen also gezeigt werden, dass $+$ wohldefiniert ist (das versteckt sich dahinter, dass $+$ eine Abbildung sein soll), die Gruppenaxiome (Assoziativgesetz, Existenz des neutralen Elementes und Existenz von inversen Elementen) und das Kommutativgesetz.

Die Wohldefiniertheit ist wichtig! Um das zu sehen definieren wir eine Subtraktion $-:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ , indem wir das Paar $(n,k)$ auf dasjenige $m\in \mathbb {N}$ abbilden, welches $n$ als $k$ -ten Nachfolger hat. Das Problem an dieser Definition ist, dass sie dem Peano-Axiom " $0$ ist kein Nachfolger" widerspricht, da $(0,1)$ auf den Vorgänger von $0$ abgebildet würde. Die Abbildung $-$ bildet also gar nicht nach $\mathbb {N}$ ab, sodass es hinfällig wird irgendwelche Gruppenaxiome nachzurechnen.

Behauptungen aufzustellen reicht nicht aus. Wenn ihr sagt irgendwas hätte bestimmte Eigenschaften (bijektiv, maximal, etc.) so ist diese Aussage zu beweisen!