Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung Fleischkonsum/Mathematische Grundlagen

Bei der einfachen linearen Regression betrachten wir den linearen Zusammenhang zwischen einer abhängigen Variablen (Kriterium) und einer unabhängigen Variable (Prädiktor).
Ziel ist es, mit Hilfe der Prädiktorvariable eine Vorhersage für die Werte der Kriteriumsvariable zu finden.

${\displaystyle f(x)=\alpha _{0}+\alpha _{1}x}$

${\displaystyle f(x)}$: Vorhergesagter Wert auf dem Kriterium y für den jeweiligen Messwert

${\displaystyle x}$: Messwert auf dem Prädiktor x (Wert der Variablen, die zur Vorhersage genutzt wird)

${\displaystyle \alpha _{1}}$: Regressionsgewicht/ -koeffizent, Steigung der Regressionsgeraden

${\displaystyle \alpha _{0}}$:y-Achsenabschnitt der Regressionsgeraden

Vorrausetzung: Daten mit zwei verschiedenen Variablen (Kriterium und Prädiktor)

${\displaystyle {\overline {x}}:={\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}$

${\displaystyle S_{xx}:=(x_{1}-{\overline {x}})^{2}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}+\ldots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$

${\displaystyle S_{xy}:=(x_{1}-{\overline {x}})(y_{1}-{\overline {y}})+(x_{2}-{\overline {x}})(y_{2}-{\overline {y}})+\ldots +(x_{n}-{\overline {x}})(y_{n}-{\overline {y}})=\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}$

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})y_{i}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}={\frac {SP_{xy}}{SQ_{x}}}}$
${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n{\overline {x}}{\overline {y}}}{\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-n{\overline {x}}^{2}}}}$

${\displaystyle \;\alpha _{0}={\overline {y}}-\alpha _{1}{\overline {x}}}$

• lineare Gleichungen der Form :${\displaystyle f(x)=m*x+b}$ in ein Koordinatensystem einzeichnen
  

• Allgemeine Form:${\displaystyle f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}}$

mit natürlichen Zahlen ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$

• Einfluss verschiedener Parameter bei der gewählten Funktion:
  

${\displaystyle f(x)={\tfrac {a}{1+({\tfrac {x}{s}})^{2}}}}$

• a: Verschiebung des Maximums auf der y-Achse
• s: Graf wird steiler/flacher

• auch "e-Funktion" genannt
• Definition: Funktionen, der Form ${\displaystyle f:IR}$→${\displaystyle IR^{+}}$, x→ ${\displaystyle e^{x}}$, wobei e die eulersche Zahl ${\displaystyle e=2{,}718\,281\,828\,459\dotso }$ ist.
  

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\exp(x)\right)=\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{n\to -\infty }\left(\exp(x)\right)=0}$

• Methode zur Glättung von Datenreihen
• Folge von arithmetische Mittelwerten über eine sich ändernde aber gleich groß bleibende Untermenge der insgesamt erhobenen Werte
• einfacher gleitender Durchschnitt n-ter Ordnung: ${\displaystyle m_{\text{MA}}^{(n)}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x(t-i)}$

• Flächeninhalt Trapez: ${\displaystyle A={\frac {(a+c)\cdot h}{2}}}$
• Flächeninhalt unter Kurve in Trapeze einteilen, einzelne Flächeninhalte berechnen und addieren

• 

• Stammfunktion bilden (gegebenenfalls mit Computeralgebrasystem)
• Grenzen wählen und in Stammfunktion einsetzen

• Partielle Ableitung: Ableiten einer Funktion mit mehreren Variablen nach einer Variablen
• Gradient: Vektor aus den ersten partiellen Ableitungen

${\displaystyle {\text{grad}}\,f=\nabla f:=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)^{T}}$

siehe Gradientenabstiegsverfahren

• Verfahren, um allgemeine Orientierungsprobleme zu löse
• Minimierungsverfahren: man startet bei Näherungswert und geht schrittweise in Richtung des negativen Gradienten bis man keine Verbesserung mehr der Näherungswerte erhält

• Fehlerfunktion bilden
• Gradient aus partiellen Ableitungen bilden (Gradient gibt Steigung an)
• Gradient normieren: Länge/Norm berechnen: ${\displaystyle \|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, mit Kehrwert multiplizieren
• negativer Gradient zeigt in die Richtung, in der die Funktionswerte fallen
• falls man bei einem Iterationsschritt über Maximum springt, wird die Schrittweite verkleinert
• Abbruchkriterium: wenn der Gradient null ist