Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle/Mathematische Grundlagen Sek II

• Sei f eine Funktion auf D → IR und sei D eine Teilmenge von IR.
• Sei a aus D eine Stelle, die in D\{a} approximierbar ("annäherbar") ist
• Man nennt f differenzierbar an der Stelle a, falls der Grenzwert ${\displaystyle lim_{x->a}{f(x)-f(a) \over (x-a)}}$ aus IR existiert. (Beachte: für x=a ist dieser Term nicht definiert.)

• In dem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert auch als Ableitung von f an der Stelle a und schreibt:

• ${\displaystyle f'(a)=lim_{x->a}{f(x)-f(a) \over (x-a)}}$. f'(a) ist gerade der Grenzwert der Steigung der Sekanten in a, was der Steigung der Tangente in a entspricht.

• Eine Funktion heißt differenzierbar auf einer Menge A, welche eine Teilmenge des Definitionsbereiches ist, wenn an jeder Stelle a aus A der obige Grenzwert existiert, die Funktion also an jeder Stelle a differenzierbar ist.

• Jede Gleichung, in der eine Ableitung vorkommt, wird als Differenzialgleichung bezeichnet.
• Ordnung der Differentialgleichung richtet sich nach der höchsten vorkommenden Ableitungsordnung
• Bei der Differentialgleichung für logistisches Wachstum handelt es sich um eine nichtlineare, gewöhnliche Differentialgleichung.

• ${\displaystyle f'(t)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))=k\cdot f(t)\cdot S-k\cdot f(t)^{2}}$

• Durch ${\displaystyle f(t)^{2}}$ wird diese Differentialgleichung zu einer nicht linearen Differentialgleichung. In einer linearen Differentialgleichung dürfte f(t) lediglich mit einem konstanten Faktor multipliziert werden.

• Die Lösung dieser Differentialgleichung wurde innerhalb des Zyklus 2 durchgeführt.

• durch Lösen der Differentialgleichung ${\displaystyle f'(t)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))}$ ergibt sich für das logistische Wachstum
• ${\displaystyle f(t)={f(0)\cdot S \over f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-Skt}}\qquad }$

Für Zahlenpaare ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\,(x_{2},y_{2}),\,...,\,(x_{n},y_{n}),\,}$ soll eine lineare Funktion ${\displaystyle f(x)=m\cdot x+b}$ gefunden werden, sodass ${\displaystyle f(x_{i})\approx y_{i}}$. Graphisch soll also eine Ausgleichs- oder Regressionsgerade gefunden werden, an der alle Punkte ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ so nah wie möglich liegen.

• So nah wie möglich bedeutet für die lineare Regression, dass die Summe der quadratischen Abweichungen, also ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(f(x_{i})-y_{i})^{2}}$ minimiert werden soll.
• Mit dieser Bedingung gibt es immer eine eindeutig bestimmte Regressionsgerade, die sich ergibt mit

• ${\displaystyle m={\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n\cdot {\bar {x}}\cdot {\bar {y}} \over \sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-n\cdot {\bar {x}}^{2}}}$ und ${\displaystyle b={\bar {y}}-m\cdot {\bar {x}}}$

• ${\displaystyle m=}$ Steigung der Geraden, ${\displaystyle {\bar {x}}={1 \over n}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ (Mittelwert der x-Werte), ${\displaystyle {\bar {y}}={1 \over n}\cdot \sum _{i=1}^{n}y_{i}}$ (Mittelwert der y-Werte), ${\displaystyle b=}$ y-Achsenabschnitt

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(f(x_{i})-y_{i})^{2}}$ soll minimal werden
• ⇒ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(mx_{i}+b-y_{i})^{2}}$ soll minimal werden

• 1. Schritt: Wähle ein willkürliches, festes ${\displaystyle m}$ und zeige, dass ${\displaystyle h(b)=\sum _{i=1}^{n}(mx_{i}+b-y_{i})^{2}}$ nur dann minimal sein kann, wenn b die angegebene Form ${\displaystyle b={\bar {y}}-m\cdot {\bar {x}}}$ hat. Also sind nun ${\displaystyle x_{i},\,y_{i},\,m}$ feste Zahlen und ${\displaystyle h(b)}$ hängt nur von ${\displaystyle b}$ ab.

• ${\displaystyle h'(b)=\sum _{i=1}^{n}(2\cdot (mx_{i}+b-y_{i}))=0}$
• ⇒ ${\displaystyle b={\bar {y}}-m\cdot {\bar {x}}}$

• Bekannt: für das optimale Paar ${\displaystyle (b,m)}$ gilt ${\displaystyle b={\bar {y}}-m\cdot {\bar {x}}}$ (b aus Schritt 1)
• Betrachte nun ${\displaystyle g(m)=\sum _{i=1}^{n}(mx_{i}+b-y_{i})^{2}}$
• ${\displaystyle g'(m)=2\cdot \sum _{i=1}^{n}((x_{i}-{\bar {x}})^{2}\cdot m)-2\cdot \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})=0}$

• ${\displaystyle m={\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n\cdot {\bar {x}}\cdot {\bar {y}} \over \sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-n\cdot {\bar {x}}^{2}}}$

• ${\displaystyle n=15}$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=105\qquad }$⇒${\displaystyle \qquad {\bar {x}}=7}$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}=-247,06\qquad }$⇒${\displaystyle \qquad {\bar {y}}\approx -16,47}$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}=-1931,36\qquad }$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=1015\qquad }$

• ⇒ ${\displaystyle m={\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n\cdot {\bar {x}}\cdot {\bar {y}} \over \sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-n\cdot {\bar {x}}^{2}}={-1931,36-1515\cdot 7\cdot (-16,47) \over 1015-15\cdot 7^{2}}\approx -0,72}$

• ⇒ ${\displaystyle b={\bar {y}}-m\cdot {\bar {x}}=-16,47-(-0,72)\cdot 7=-11,42}$

• ⇒ ${\displaystyle y=-0,72\cdot x-11,42}$

${\displaystyle y=-0,72\cdot t-11,42}$

https://www.geogebra.org/classic/j97aj8f3

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