Kurs:Numerik I/Matrixnorm und Spektrum

Die wesentlichen Eigenschaften der durch induzierten Matrixnormen u.a. im Zusammenhang mit dem Spektrum sind im Folgenden zusammengefasst.

Für eine Matrix ${\displaystyle B\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ nennt man

${\displaystyle \sigma (B):=\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,\lambda \ ist\ Eigenwert\ von\ B\}}$

das Spektrum und

${\displaystyle \varrho (B):=\max\{|\lambda |\,:\,\lambda \in \sigma (B)\}}$

den Spektralradius von ${\displaystyle B}$.

Eigenvektoren zusammen mit dem zugehörigen Eigenvektor sind wesentlich, um eine lineare Abbildung (Endomorphismus allein durch eine Linearkombination von gestreckt und gestauchten Eigenvektoren darzustellen (siehe Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung)

Sei ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm ${\displaystyle \|\cdot \|:\mathbb {C} ^{n\times n}\to \mathbb {R} _{+}}$ gilt

${\displaystyle \|A\|\geq \varrho (A).}$

Für den Beweis wird Eigenschaft, dass ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ein Eigenwert zu einem Eigenvektor ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes ${\displaystyle A\cdot x}$ gegen den Spektralradius abzuschätzen.

Sei ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\}}$ Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ einer Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$, d. h.

${\displaystyle Ax=\lambda x.}$

Mit der zugehörigen Vektornorm ${\displaystyle \|\cdot \|:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ gilt dann

${\displaystyle \|A\|\geq {\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}={\frac {|\lambda |\|x\|}{\|x\|}}=|\lambda |}$

Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung.

Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ induzierten Matrixnormen ${\displaystyle \|A\|_{\infty }}$ bzw. ${\displaystyle \|A\|_{1}}$ gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind.

Für ${\displaystyle A:=(a_{kj})\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ und die durch die Vektornormen ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ induzierten Matrixnormen ${\displaystyle \|A\|_{\infty }}$ bzw. ${\displaystyle \|A\|_{1}}$ gilt

• ${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{k=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|}$ (Zeilensummennorm),
• ${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{k=1}^{n}|a_{kj}|}$ (Spaltensummennorm).

Die Beweise der Gleichheit "${\displaystyle =}$" für die Zeilensummennorm bzw. Spaltensummennorm wird jeweils in zwei Teilaussagen "${\displaystyle \geq }$" und "${\displaystyle \leq }$" zerlegt. Für die Zeilensummennorm bedeutet das:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{\infty }&\leq &\displaystyle \max _{k\in \{1,\ldots ,n\}}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|\\\|Ax\|_{\infty }&\geq &\displaystyle \max _{k\in \{1,\ldots ,n\}}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|\\\end{array}}}$

Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für ${\displaystyle x\in \mathbb {K} ^{n}}$ gilt

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{\infty }&=&\max _{k=1,\ldots ,n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{kj}x_{j}\right|\\&\leq &\max _{k=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}||x_{j}|\\&\leq &\left(\max _{k=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|\right)\|x\|_{\infty }\\\end{array}}}$

Somit erghält man

${\displaystyle {\frac {\|Ax\|_{\infty }}{\|x\|_{\infty }}}\leq \max _{k=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|,}$

und die folgende Abschätzung:

${\displaystyle \|A\|_{\infty }\leq \max _{k=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|}$

folgt.

Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$ beliebig, aber fest gewählt. Für ${\displaystyle x:=(x_{j})\in \mathbb {K} ^{n}}$ mit

${\displaystyle x_{j}:={\begin{cases}|a_{kj}|/a_{kj},&{\text{falls }}a_{kj}\neq 0\\1,&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

gilt dann ${\displaystyle \|x\|_{\infty }=1}$.

Somit hat man

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|A\|_{\infty }&=&\max _{\|y\|_{\infty }=1}\|Ay\|_{\infty }\\&\geq &\|Ax\|_{\infty }\geq \left|\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{kj}x_{j}\right|\\&=&\displaystyle \sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|.\\\end{array}}}$

Da ${\displaystyle k}$ beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für ${\displaystyle \|A\|_{\infty }}$.

In dem nächsten Beweisteil werden wieder zwei Ungleichungen gezeigt, die zusammen die Aussage für die Spaltensummennorm liefern:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{1}&\leq &\displaystyle \max _{\ell \in \{1,\ldots ,n\}}\sum _{k=1}^{n}|a_{k\ell }|\\\|Ax\|_{1}&\geq &\displaystyle \max _{\ell \in \{1,\ldots ,n\}}\sum _{k=1}^{n}|a_{k\ell }|\\\end{array}}}$

Nun gilt weiter für ${\displaystyle x\in \mathbb {K} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{1}&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{kj}x_{j}\right|\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}||x_{j}|\leq \sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{kj}|\right)\\&\leq &\left(\displaystyle \max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{k=1}^{n}|a_{kj}|\right)\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|\\&=&\left(\displaystyle \max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{k=1}^{n}|a_{kj}|\right)\|x\|_{1}.\\\end{array}}}$

Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei ${\displaystyle \ell \in \{1,\ldots ,n\}}$ beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor ${\displaystyle e^{\ell }:=(\delta _{k\ell })\in \mathbb {K} ^{n}}$ erhält man dann

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|A\|_{1}&=&\displaystyle \max _{\|y\|_{1}=1}\|Ay\|_{1}\\&\geq &\|Ae^{\ell }\|_{1}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{kj}\delta _{j\ell }\right|\\&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k\ell }|.\\\end{array}}}$

Damit folgt auch die behauptete Darstellung von ${\displaystyle \|A\|_{1}}$.

Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall ${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {R} }$. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man

Für Matrizen ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ gilt

${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\|A^{T}\|_{1},\quad \|A\|_{1}=\|A^{T}\|_{\infty }.}$

Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung.

Sei ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$. Für die durch die Euklidische Vektornorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ induzierte Matrixnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}:\mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$ gilt:

${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\varrho (A^{T}A)}}.}$

Es ist ${\displaystyle A^{T}A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ eine symmetrische und wegen

${\displaystyle x^{T}A^{T}Ax=(Ax)^{T}(Ax)=\|Ax\|_{2}^{2}\geq 0,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}}$

positiv semi-definite Matrix.

Somit besitzt ${\displaystyle A^{T}A}$ Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{k}\geq 0}$ ${\displaystyle (k=1,\ldots ,n)}$ und gibt es zu ${\displaystyle A^{T}A}$ ein System ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}$ von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist

${\displaystyle A^{T}Au_{k}=\lambda _{k}u_{k},\quad k=1,\ldots ,n}$

und

${\displaystyle u_{k}^{T}u_{l}=\delta _{lk}}$.

Für ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ gilt daher mit der Darstellung ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{n}c_{k}u_{k}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{2}^{2}&=&x^{T}A^{T}Ax=\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}c_{k}u_{k}\right)^{T}\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}(A^{T}A)u_{j}\right)\\&=&\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}c_{k}u_{k}\right)^{T}\left(\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}c_{j}u_{j}\right)=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}c_{k}^{2}\\&\leq &\left(\max _{k=1,\ldots ,n}\lambda _{k}\right)\cdot \sum _{k=1}^{n}c_{k}^{2}=\varrho (A^{T}A)\|x\|_{2}^{2}.\\\end{array}}}$

In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor ${\displaystyle {\tilde {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ zu einem maximalen Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{\max }}$ von ${\displaystyle A^{T}A}$ angenommen, denn

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|A{\tilde {x}}\|_{2}^{2}&=&{\tilde {x}}^{T}A^{T}A{\tilde {x}}\\&=&\lambda _{\max }{\tilde {x}}^{T}{\tilde {x}}=\lambda _{\max }\|{\tilde {x}}\|_{2}^{2}.\end{array}}}$

Damit ist alles bewiesen.

Die Matrixnorm ${\displaystyle \|A\|_{2}}$ bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen.

Sei ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ eine symmetrische Matrix, d. h. ${\displaystyle A=A^{T}}$. Dann gilt

${\displaystyle \|A\|_{2}=\varrho (A).}$

Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm ${\displaystyle \|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R} _{+}}$ gilt

${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|.}$

Wegen ${\displaystyle \sigma (A^{2})=\{\lambda ^{2}|\lambda \in \sigma (A)\}}$ gilt ${\displaystyle \varrho (A^{2})=[\varrho (A)]^{2}}$ und daher aufgrund der Symmetrie von ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\varrho (A^{T}A)}}={\sqrt {\varrho (A^{2})}}=\varrho (A).}$

Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4).

Die symmetrische Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&3\\3&2\end{pmatrix}}}$

besitzt die Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{1,2}=(3\pm {\sqrt {37}})/2}$, so dass folgt:

${\displaystyle \|A\|_{2}=(3+{\sqrt {37}})/2\approx 4.541.}$

Weiter hat man ${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\|A\|_{1}=5}$. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen ${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1},x\in \mathbb {R} ^{n}}$ nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen.

Für die nicht symmetrische Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}$, definiert durch

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}\Rightarrow A^{T}A={\begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix}},}$

gilt offenbar ${\displaystyle \varrho (A)=1=\|A\|_{\infty },\|A\|_{2}={\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle \|A\|_{1}=2}$. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „${\displaystyle A=A^{T}}$“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann.

Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen.

Für jede Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ gilt

${\displaystyle \|A\|_{2}\leq {\sqrt {\|A\|_{\infty }\|A\|_{1}}},\quad \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F},}$

wobei ${\displaystyle \|A\|_{F}}$ die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei.

Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|A\|_{2}&=&{\sqrt {\varrho (A^{T}A)}}={\sqrt {\|A^{T}A\|_{2}}}\\&\leq &{\sqrt {\|A^{T}A\|_{\infty }}}\leq {\sqrt {\|A^{T}\|_{\infty }\|A\|_{\infty }}}\\&=&{\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}\\\end{array}}}$

Dabei wurde für die zweite Abschätzung die Cauchy-Schwarz-Ungleichung verwendet:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{2}&=&\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{kj}x_{j}\right|^{2}\right)^{1/2}\\&\leq &\displaystyle \left[\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|^{2}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\right)\right]^{1/2}\\&=&\|A\|_{F}\|x\|_{2}\\\end{array}}}$

für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$. q.e.d.

• Normen, Metriken, Topologie
• Besonderheiten des numerischen Rechnens
• Konditionszahl einer Matrix
• Störungsresultate für Matrizen
• Diskretisierung des Vektorraumes

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