Kurs:PH-Wert-Berechnung/Gleichungen

Die gesamte pH-Wert-Berechnung für Säuren beruht auf folgenden vier Formeln:

1. ${\displaystyle K_{s}=[H^{+}]*[A^{-}]/[HA]}$
2. ${\displaystyle c_{0}=[HA]+[A^{-}]}$
3. ${\displaystyle K_{w}=[H^{+}]*[OH^{-}]}$
4. ${\displaystyle [H^{+}]=[A^{-}]+[OH^{-}]}$

Diese vier Formeln sollen erläutert und erklärt werden, um sie schließlich in einer Formel zusammenzufassen.

Die Säurekonstante ${\displaystyle K_{s}}$ bezieht sich auf folgendes Gleichgewicht:

${\displaystyle HA\rightleftharpoons H^{+}+A^{-}}$

Sie stellt das zugehörige w:Massenwirkungsgesetz dar:

${\displaystyle K_{s}=[H^{+}]*[A^{-}]/[HA]}$

${\displaystyle K_{s}}$ ist ein Maß für die "Stärke" einer Säure, d.h. zu welchem Ausmaß die Säureteilchen tatsächlich Protonen freisetzen. Wir stellen fest, dass es auch schwache Säuren gibt, die ein nur sehr kleines Bestreben zur Protolyse zeigen.

Schon gewusst? Tabelle der Säurestärken

${\displaystyle pK_{s}}$ ist der negative dekadische Logarithmus der Säurekonstante, d.h.:

${\displaystyle pK_{s}=-\log K_{s}}$

So werden die Zahlen handlicher!

Unsere Rechnungen müssen von den Ausgangsstoffen ausgehen. Meist ist exakt bekannt, wie viele unprotolysierten Säureteilchen ${\displaystyle HA}$ sich in der Lösung befunden haben, bevor sich das Gleichgewicht

${\displaystyle HA\rightleftharpoons H^{+}+A^{-}}$

einstellte. Diese Ausgangsgröße wird Ausgangskonzentration ${\displaystyle c_{0}}$ genannt.

${\displaystyle c_{0}}$ lässt sich als

${\displaystyle c_{0}=[HA]+[A^{-}]}$

schreiben (prüfe auch an Beispiel).

Zur Betrachtung des ${\displaystyle K_{w}}$ ist es nötig, sich das MWG der Autoprotolyse des Wassers anzusehen:

${\displaystyle H_{2}O\rightleftharpoons H^{+}+OH^{-}}$

Hieraus lässt sich aufstellen:

${\displaystyle K=[H^{+}]*[OH^{-}]/[H_{2}O]}$

wir setzen per definitionem ${\displaystyle H_{2}0=1}$ und erhalten das sogenannte Ionenprodukt des Wassers:

${\displaystyle K_{w}=[H^{+}]*[OH^{-}]}$

Es beträgt bei 25°C exakt 10^-14 mol²/l²

Beim Einstellen des Gleichgewichts überlagern sich die Autoprotolyse des Wassers und die Dissoziation der Säureteilchen. Es findet jedoch keine elektrische Ladungstrennung statt, d.h. es gibt im Gleichgewichtszustand immer genau so viele positive Teilchen (${\displaystyle H^{+}}$) wie negative Teilchen (${\displaystyle A^{-}}$ und ${\displaystyle OH^{-}}$) in unserer Lösung, was zu folgender Gleichung führt:

${\displaystyle [H^{+}]=[A^{-}]+[OH^{-}]}$

Es ist nun durch Einsetzen möglich, eine Gleichung dritten Grades zu erhalten, über die die Konzentration der ${\displaystyle H^{+}}$-Teilchen in unserer Probe zu berechnen ist.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}K_{s}&={\frac {[H^{+}]*[A^{-}]}{[HA]}}\\K_{s}*[HA]&=[H^{+}]*[A^{-}]\\&&&c_{0}=[HA]+[A^{-}]\\&&&[HA]=c_{0}-[A^{-}]\\K_{s}*(c_{0}-[A^{-}])&=[H^{+}]*[A^{-}]\\&&&[H^{+}]=[A^{-}]+[OH^{-}]\\&&&[A^{-}]=[H^{+}]-[OH^{-}]\\K_{s}*(c_{0}-([H^{+}]-[OH^{-}]))&=[H^{+}]*([H^{+}]-[OH^{-}])\\&&&K_{w}=[H^{+}]*[OH^{-}]\\&&&[OH^{-}]={\frac {K_{w}}{[H^{+}]}}\\K_{s}*(c_{0}-([H^{+}]-{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}}))&=[H^{+}]*([H^{+}]-{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}})\\K_{s}*(c_{0}-([H^{+}]-{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}}))&=[H^{+}]*([H^{+}]-{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}})\\K_{s}*c_{0}-K_{s}*([H^{+}]-{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}})&=[H^{+}]^{2}-[H^{+}]*{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}}&&\quad |*[H^{+}]\\K_{s}*c_{0}*[H^{+}]-K_{s}*[H^{+}]^{2}+K_{s}*K_{w}&=[H^{+}]^{3}-[H^{+}]*K_{w}\end{alignedat}}}$

Wir erhalten also:

${\displaystyle [H^{+}]^{3}+[H^{+}]^{2}*K_{s}-[H^{+}](K_{s}*c_{0}+K_{w})-K_{s}*K_{w}=0}$

Diese Formel ohne weiteres zu lösen ist jedoch sehr aufwändig! Wenden wir uns deswegen möglichen Vereinfachungen zu...