Kurs:Quantencomputing/Gruppe

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Auf einer Menge ${\displaystyle M}$ lässt sich eine zweistellige Verknüpfung ${\displaystyle \oplus :M\times M\to M}$ definieren. Ist diese Verknüpfung abgeschlossen, also liegen die Ergebnisse jeder möglichen Verknüpfung wieder in ${\displaystyle M}$, so wird ${\displaystyle (M,\oplus )}$ als Magma bezeichnet.

Ist ${\displaystyle (M,\oplus )}$ ein Magma und die Verknüpfung ${\displaystyle \oplus }$ assoiziativ
${\displaystyle \forall _{a,b,c\in M}a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c}$
so wird ${\displaystyle (M,\oplus )}$ als Halbgruppe bezeichnet.

Ist ${\displaystyle (M,\oplus )}$ eine Halbgruppe und besitzt ein Element ${\displaystyle 0}$ so dass für jedes Element ${\displaystyle a\in M}$ der Zusammenhang
${\displaystyle a\oplus 0=0\oplus a=a}$
gilt, so heißt ${\displaystyle (M,\oplus ,0)}$ Monoid und ${\displaystyle 0}$ heißt Neutrales Element.

Ist ${\displaystyle (M,\oplus ,0)}$ ein Monid und existiert für alle ${\displaystyle a\in M}$ ein Element ${\displaystyle -a\in M}$, welches
${\displaystyle a\oplus -a=-a\oplus a=0}$ erfüllt, so heißt ${\displaystyle (M,\oplus ,0)}$ Gruppe und das Element ${\displaystyle -a}$ heißt Inverses Element zu ${\displaystyle a}$.

Ist ${\displaystyle (M,\oplus ,0)}$ eine Gruppe und gilt für alle ${\displaystyle a,b\in M}$ der Zusammenhang
${\displaystyle a\oplus b=b\oplus a}$
so wird die Gruppe als abelsche Gruppe bezeichnet.

Die Überlegungen, die hier aus der Addition heraus entwickelt wurden, lassen sich auch auf die Multiplikation anwenden. In diesem Fall wird als Verknüpfung meist ${\displaystyle \odot }$, für das Neutrale Element ${\displaystyle 1}$ und für Inverse Element ${\displaystyle a^{-1}}$ als Bezeichnung gewählt.

• Zeige dass die Menge ${\displaystyle \{0,1\}}$ mit der Verknüpfung ${\displaystyle \oplus }$ und der Verknüpfungstabelle

Verknüpfungstabelle

${\displaystyle \oplus }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

eine abelsche Gruppe ist. Was ist das Neutrale Element?

• Prüfe um welche oben definierte Struktur es sich jeweils bei
  

${\displaystyle (\mathbb {N} _{0},+,0)\quad \quad (\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot ,1)\quad \quad (\mathbb {R} ,+,0)\quad \quad (\mathbb {R} ^{n\times n},\cdot ,I)}$
handelt. Begründe, warum es sich nicht um die nächst höhere Struktur handeln kann.

Lösungen

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Gruppe gefunden werden.