Kurs:Quantencomputing/Qubits

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Ein Qubit befindet sich in einer Superposition der Zustände

${\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

und

${\displaystyle |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

Der Zustand ${\displaystyle |x\rangle }$ kann daher mit den Amplituden ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ als

${\displaystyle |x\rangle ={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}}$

geschrieben werden. Da der Zustand normiert sein soll muss

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

gelten.

Das Qubit kann verändert werden ohne es zu messen, indem unitäre Operatoren ${\displaystyle UU^{\dagger }=U^{\dagger }U=I}$ auf es angewandt werden. Eine allgemeine unitäre ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrix war durch

${\displaystyle U(\theta ,\phi ,\lambda )={\begin{pmatrix}\cos {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}&-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda }\sin {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }\sin {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}&\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\lambda +\phi )}\cos {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}\end{pmatrix}}}$

gegeben. Aus ${\displaystyle U}$ lassen sich für verschiedene Werte von ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \phi }$ und ${\displaystyle \lambda }$ alle anderen unitären Matrizen ermitteln. In qiskit wird ${\displaystyle U(\theta ,\phi ,\lambda )}$ durch

u(<theta>, <phi>, <lambda>, <qubit>)

aufgerufen.

Die Identität ist durch

${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=U(0,0,0)}$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

${\displaystyle I{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}}$

Sie wird in Qiskit durch

id(<qubit>)

aufgerufen.

Das Pauli-X-Gatter ist durch

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U(\pi ,0,\pi )}$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

${\displaystyle X{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\beta \\\alpha \end{pmatrix}}}$

Es wird in Qiskit durch

x(<qubit>)

aufgerufen.

Das Pauli-Z-Gatter ist durch

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=U(0,0,\pi )}$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

${\displaystyle Z{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \\-\beta \end{pmatrix}}}$

Es wird in Qiskit durch

z(<qubit>)

aufgerufen.

Das Pauli-Y-Gatter ist durch

${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}=U(\pi ,\pi /2,\pi /2)=\mathrm {i} XZ}$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

${\displaystyle Y{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mathrm {i} \beta \\\mathrm {i} \alpha \end{pmatrix}}}$

Es wird in Qiskit durch

y(<qubit>)

aufgerufen.

Das Phasen-Gatter ist durch

${\displaystyle P(\lambda )={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda }\end{pmatrix}}=U(0,0,\lambda )}$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

${\displaystyle P(\lambda ){\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda }\beta \end{pmatrix}}}$

Es wird in Qiskit durch

p(<lambda>, <qubit>)

aufgerufen.

Das Hadamard-Gatter (auch Hadamard-Transformation) ist durch

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=U(\pi /2,0,\pi )}$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

${\displaystyle H{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\alpha +\beta \\\alpha -\beta \end{pmatrix}}}$

Es wird in Qiskit durch

h(<qubit>)

aufgerufen. Die Zustände ${\displaystyle |0\rangle }$ und ${\displaystyle |1\rangle }$ werden auf die Zustände

${\displaystyle |+\rangle =H|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$

und

${\displaystyle |-\rangle =H|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}$

abgebildet, die auch als Hadamard-Basis bezeichnet werden.

Eine Messung ist nicht unitär. Sie reduziert den Zustand auf ${\displaystyle |0\rangle }$ oder ${\displaystyle |1\rangle }$. Die Wahrscheinlichkeit für jeden der Zustände ist durch das Betragsquadrat der jeweiligen Amplitude zu bestimmen. Sie wird in qiskit durch

measure(<qubit>, <cbit>)

aufgerufen und schreibt den Messwert stets in das klassische Bit cbit

• Mit welcher Wahrscehinlichkeit werden die Zustände ${\displaystyle |0\rangle }$ und ${\displaystyle |1\rangle }$ im Zustand

${\displaystyle |x\rangle ={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}}$

gemessen?

• Drücke ${\displaystyle (U(\theta ,\phi ,\lambda ))^{\dagger }}$ durch ${\displaystyle U(\theta ',\phi ',\lambda ')}$ aus.
• Bestimme ${\displaystyle HXYZH|0\rangle }$.
• Wie groß ist die Wahrscheinlihckeit ${\displaystyle |0\rangle }$ im Zusatnd ${\displaystyle |+\rangle }$ zu messen?

Lösungen

Weitere Informationen können im Wikipedia-Artilel Qubit gefunden werden.