Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\inputaufgabe
{}
{
Was hat eine \definitionsverweis {Entfaltung}{}{} mit einer \anfuehrung{Funktionenschar}{} zu tun?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Rechtsäquivalenzklassen}{}{}
in der
\definitionsverweis {Entfaltung}{}{}
\mathl{tx^n+(1-t)x^m}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ = }{ n
}
{ < }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten Polynome
\mathl{x^4+ux^2+vx}{} mit Parametern
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde eine algebraische Bedingung an die Parameter $u,v$, die beschreibt, dass das Polynom einen ausgearteten kritischen Punkt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ x^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Entfaltung
\mathl{x^n+ w_{n-1}x^{n-1} + w_{n-2}x^{n-2} + \cdots + w_1x+w_0}{} mit dem Deformationsparameter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left( w_{n-1} , \, \ldots , \, w_0 \right)
}
{ \in }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man den Term
\mathl{w_{n-1}x^{n-1}}{} \anfuehrung{wegtransformieren}{} kann, dass es also eine Transformation
\zusatzklammer {einen Koordinatenwechsel} {} {}
derart gibt, dass man in der transformierten Situation ohne diesen Term auskommt, aber nach wie vor jede deformierte Funktion $f_w$ vorkommt.
Was hat diese Beobachtung mit dem \definitionsverweis {Jacobiideal}{}{} und der \definitionsverweis {Standardentfaltung}{}{} zu tun?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E(x,u,v)
}
{ = }{ x(x-u)(x-v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was wir als
\definitionsverweis {Entfaltung}{}{}
von $x^3$ auffassen.
\aufzaehlungdrei{Bestimme abhängig von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (u,v)
}
{ \in }{ {\mathbb C}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Milnorzahl}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_{(u,v)}
}
{ = }{ E (- ,u,v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Welche Funktionen
\mathl{f_{(u,v)}}{} sind
\definitionsverweis {rechtsäquivalent}{}{}
zueinander?
}{Skizziere die Situation im
\zusatzklammer {reellen} {} {}
Parameterraum.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die Funktion $XY-T$ als \definitionsverweis {Entfaltung}{}{} von $XY$. Welche deformierten Funktionen sind untereinander \definitionsverweis {rechtsäquivalent}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
\maabbdisp {F} { V } { V
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ C^\infty(V, \R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von $V$ nach $\R$. Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\delta = \delta_F} { C } { C
} { g } { \delta (g)
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \delta (g) ) (P)
}
{ =} { { \left( D_{ F(P)} g \right) } { \left( P \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man erhält also aus der Funktion $g$ die neue Funktion $\delta(g)$, indem man an einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Richtungsableitung der Funktion $g$ in Richtung
\mathl{F(P)}{} berechnet. Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgende Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(g)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y'
}
{ = }{ F(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt in einer Faser von $g$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \geq }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{X^3+Y^b}{} zu
\mathl{X^3+Y^b+X^4}{}
\definitionsverweis {rechtsäquivalent}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ X^4+Y^7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für welche der folgenden $h$ kann man mit Hilfe von
Lemma 27.9
darauf schließen, dass $f$ und $f+h$
\definitionsverweis {rechtsäquivalent}{}{}
sind?
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} { X^4Y^7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} { X^2Y^8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} { 5X^6-X^4Y^5-Y^{17}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} { X^{5} + Y^{8}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ist $f$ rechtsäquivalent zu
\mathl{X^4+Y^7+X^5+Y^8}{?}
}
}
{} {}