Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Quotient
\mathdisp {{ \frac{ 1-x_3 }{ x_1+x_2 { \mathrm i} } }} { }
für
\mathl{x_1,x_2 \to 0}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_3
}
{ =} { \pm \sqrt{1-x_1^2-x_2^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \bigoplus_{d\in D} A_d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {homogen}{,}
wenn zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch die
\definitionsverweis {homogenen Komponenten}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_d
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} ebenfalls $D$-graduiert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\zusatzklammer {in der
\definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom Grad $e$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e H
}
{ =} { X_1 { \frac{ \partial H }{ \partial X_1 } } + \cdots + X_n { \frac{ \partial H }{ \partial X_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Ein
$K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { A } { A
} {}
heißt \definitionswort {homogen}{,} wenn für jedes
\definitionsverweis {homogene Element}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ A_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(a )
}
{ \in }{ A_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass der in
Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
zu einem
\definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi
}
{ \in }{ D ^{ \vee }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eingeführte Automorphismus
\maabbdisp {\varphi_\chi} { A } { A
} {}
\definitionsverweis {homogen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ die Menge der
\definitionsverweis {stetigen}{}{}
\definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{}
und $U$ die Menge der stetigen
\definitionsverweis {ungeraden Funktionen}{}{}
von $\R$ nach $\R$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{C}^0 \, (\R, \R)
}
{ =} { G \oplus U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
$\Z/( 2 )$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2
}
{ \in }{ R ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf dem die Gruppe
\mathl{\Z/( 2 )}{} als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Zeige, dass man $R$ mit einer
$\Z/( 2 )$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
versehen kann derart, dass die
\definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{}
der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei
\maabbdisp {\varphi} { A } { A
} {}
ein
\definitionsverweis {homogener Automorphismus}{}{.}
Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi
}
{ \in }{ D ^{ \vee }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \varphi_\chi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, wobei $\varphi_\chi$ der gemäß
Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
zu $\chi$ gehörige Automorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\maabb {\delta} {\Z^r} {D
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit der zugehörigen
$D$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_r]}{.} Zeige, dass der Unterring der neutralen Stufe ein
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
über $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\maabbdisp {\delta} { \Z^2 } { \Z
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{}
von
\mathl{K[X,Y]}{} zur Graduierung, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (X_1 )
}
{ = }{ \delta(e_1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (X_2 )
}
{ = }{ \delta(e_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das keine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
in $R$ besitze. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2 -r
}
{ \in }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {XY-Z^n} { }
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Ringe
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( XY-Z^n \right) }}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
genau in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (0,0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {singulär}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ringe}{}{}
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( X^2+YZ^2+Y^{m+1} \right) }}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ m
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
genau in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (0,0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {singulär}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Ring}{}{}
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^3+Z^4 \right) }}{} genau in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (0,0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {singulär}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {singulären Ort}{}{}
von
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( X^2+YZ^2+Z^n \right) }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige explizit, dass der Ring
\mathl{{\mathbb C}[X,Y,Z]/ { \left( X^2+YZ^2+Y^{2} \right) }}{}
\zusatzklammer {also die Diedersingularität zu \mathlk{m = 1}{}} {} {}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{{\mathbb C}[S,T,U]/ { \left( ST-U^4 \right) }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige direkt, dass die Polynome
\mathdisp {U^{2m}+V^{2m}, \, U^2V^2 \text{ und } UV(U^{2m} - V^{2m})} { }
\definitionsverweis {invariant}{}{}
zur Operation der
\definitionsverweis {binären Diedergruppe}{}{}
\mathl{BD_m}{} auf
\mathl{{\mathbb C}[U,V]}{} sind, und bestimme eine
\definitionsverweis {Relation}{}{}
zwischen diesen Polynomen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Ring
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^3+YZ^3 \right) }}{} genau in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (0,0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {singulär}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Ring}{}{}
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^3+Z^5 \right) }}{} genau in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (0,0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {singulär}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es auf den $A$- und den $D$-Singularitäten und auf der
\mathl{E_6}{} und der
\mathl{E_7}{-}Singularität glatte Kurven gibt, die durch den
\definitionsverweis {singulären Punkt}{}{}
laufen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es einen \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb C}[X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^3+Z^5 \right) } } { {\mathbb C}[R,S,T]/ { \left( RS-T^2 \right) } } {} gibt.
}
{} {}
Wir erinnern an einige weitere Graduierungsbegriffe.
Ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{}
$A$ heißt
\definitionswort {positiv graduiert}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_d
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \Z_-
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Ein kommutativer $\N$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {standard-graduiert}{,} wenn er als $R_0$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} von der ersten Stufe $R_1$ \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} wird.
In einem
$\N$-\definitionsverweis {graduierten Ring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \bigoplus_{d \geq 0} R_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_+
}
{ = }{ \bigoplus_{d \geq 1} R_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionswort {irrelevante Ideal}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Ringe der ADE-Singularitäten eine positive Graduierung besitzen. Man gebe diese jeweils an.
}
{} {}
Wir erinnern an folgende Definition.
Zu einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ heißt die von allen
\definitionsverweis {Kommutatoren}{}{}
\mathbed {aba^{-1}b^{-1}} {}
{a,b \in G} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{}
die \definitionswort {Kommutatorgruppe}{} von $G$. Sie wird mit
\mathl{K(G)}{} bezeichnet.
Die Kommutatorgruppe ist
nach Lemma 21.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
ein Normalteiler, die Restklassengruppe
\mathl{G/K(G)}{} nennt man auch die \stichwort {Abelianisierung} {} von $G$.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zu den endlichen Untergruppen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
jeweils die
\definitionsverweis {Kommutatoruntergruppe}{}{}
und die
\definitionsverweis {Abelianisierung}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{,}
die zur
\definitionsverweis {Operation}{}{}
von $G$ auf dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n ]}{} führt. Zeige, dass dies auch eine Operation von $G$ auf der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n ]_{ (X_1 , \ldots , X_n) }}{} induziert, und dass
\mathl{{ \left( K[X_1 , \ldots , X_n ]_{ (X_1 , \ldots , X_n ) } \right) }^G}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{{ \left( K[X_1 , \ldots , X_n ]^G \right) }_{ {\mathfrak n} }}{} ist, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak n}
}
{ = }{ (X_1 , \ldots , X_n) \cap K[X_1 , \ldots , X_n ]^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einem kommutativen \definitionsverweis {lokalen Ring}{}{} als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Fixring}{}{} $R^G$ ebenfalls lokal ist.
}
{} {}