Kurs:Statistik für Anwender/Hilfsmittel: Integrale

Ist ${\textstyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [}$ eine (stückweise stetige) Funktion, so kann die Fläche ${\textstyle F_{[a,b]}}$ über einem Intervall ${\textstyle [a,b]}$ unter dem Graphen von ${\textstyle f}$ mit einem Integral berechnet werden: $${\displaystyle F_{[a,b]}=\int \limits _{a}^{b}f(t)dt}$$

Normalerweise berechnet man Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Er besagt:
Falls ${\textstyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ eine Stammfunktion von ${\textstyle f}$ ist (d.h. ${\textstyle F^{\prime }(t)=f(t)}$ für ${\textstyle t\in \mathbb {R} }$), so gilt $${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(t)dt=\left[F(t)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a).}$$

Ist ${\textstyle f(t)=2}$ (konstante Funktion), so ist ${\textstyle F(t)=2t}$ eine Stammfunktion von ${\textstyle f}$.

Also:

${\textstyle \int \limits _{3}^{7}2\ dt=8}$

Anmerkung: Fläche hätte auch als Rechtecksfläche berechnet werden können.

Ist ${\textstyle f(t)=4t+5}$, so ist ${\textstyle F(t)=2t^{2}+5t}$ eine Stammfunktion von ${\textstyle f}$.

Also:

${\textstyle \int \limits _{0}^{3}(4t+5)dt=33}$

Anmerkung: Fläche hätte auch als Summe von Rechtecks- und Dreiecksfläche berechnet werden können.

Ist ${\textstyle f(t)=t^{2}-{\frac {1}{2}}t+1}$, so ist ${\textstyle F(t)={\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{4}}t^{2}+t}$ eine Stammfunktion von ${\textstyle f}$.
Also:

${\textstyle \int \limits _{-2}^{2}\left(t^{2}-{\frac {1}{2}}t+1\right)dt={\frac {28}{3}}}$

Ist ${\textstyle f(t)=2\cdot \exp \left({\frac {t}{4}}\right)}$, so ist ${\textstyle F(t)=8\cdot \exp \left({\frac {t}{4}}\right)}$ eine Stammfunktion von ${\textstyle f}$.

Also:

${\textstyle \int \limits _{-4}^{12}\left(2\cdot \exp \left({\frac {t}{4}}\right)\right)dt}$

${\textstyle =\left[8\cdot \exp \left({\frac {t}{4}}\right)\right]_{-4}^{12}}$

${\textstyle =8\cdot \exp \left({\frac {12}{4}}\right)-8\cdot \exp \left({\frac {-4}{4}}\right)}$

${\textstyle =8\cdot \left(\exp(3)-\exp(-1)\right)=157.74}$

Bei der Berechnung von Integralen gelten die folgende Regeln:

• ${\textstyle \int \limits _{a}^{b}\left(f(t)\pm g(t)\right)dt=\int \limits _{a}^{b}f(t)dt\pm \int \limits _{a}^{b}g(t)dt}$
• ${\textstyle \int \limits _{a}^{b}\alpha \cdot f(t)dt=\alpha \cdot \int \limits _{a}^{b}f(t)dt\quad }$ (für ${\textstyle \alpha \in \mathbb {R} }$)
• ${\textstyle \int \limits _{a}^{c}f(t)dt=\int \limits _{a}^{b}f(t)dt+\int \limits _{b}^{c}f(t)dt\quad }$ (falls ${\textstyle a<b<c}$ )

Die letzte Regel ist vor allem dann wichtig, wenn Funktionen abschnittsweise definiert sind.

Für
$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}0&,&{\text{falls}}\ t<0\\t+3&,&{\text{falls}}\ 0\leq t\leq 4\\2+{\frac {20}{t}}&,&{\text{falls}}\ t>4\end{array}}\right.}$$
ist

$${\displaystyle \int \limits _{-2}^{1}f(t)dt=\int \limits _{-2}^{0}0\ dt+\int \limits _{0}^{1}(t+3)dt=[0]_{-2}^{0}+\left[{\frac {1}{2}}t^{2}+3t\right]_{0}^{1}}$$
$${\displaystyle =0-0\ +\ \left({\frac {1}{2}}1^{2}+3\cdot 1\right)-\left({\frac {1}{2}}0^{2}+3\cdot 0\right)={\frac {7}{2}}=3.5}$$

und

$${\displaystyle \int \limits _{2}^{7}f(t)dt=\int \limits _{2}^{4}(t+3)dt+\int \limits _{4}^{7}\left(2+{\frac {20}{t}}\right)dt}$$

$${\displaystyle =\left[{\frac {1}{2}}t^{2}+3t\right]_{2}^{4}+\left[2t+20\ln(t)\right]_{4}^{7}}$$

$${\displaystyle =\left({\frac {1}{2}}4^{2}+3\cdot 4\right)-\left({\frac {1}{2}}2^{2}+3\cdot 2\right)}$$

$${\displaystyle \ +\ \left(2\cdot 7+20\ln(7)\right)-\left(2\cdot 4+20\ln(4)\right)}$$

$${\displaystyle =29.192}$$

Die Bestimmung einer Stammfunktion ist nicht immer einfach. Für viele Funktionen sind jedoch Stammfuntkionen bekannt. Außerdem gibt es einige weitere Methoden zur Bestimmung von Stammfunktionen bzw. zur Berechnung von Integralen (z.B. partielle Integration, Substitution). Wir wollen jedoch im Rahmen dieser Vorlesung nicht näher darauf eingehen.

Berechnen Sie die folgenden Integrale. Skizzieren (oder plotten) Sie jeweils auch den Graphen der integrierten Funktion und zeichnen Sie die Fläche ein, die durch das Integral berechnet wird:

• ${\textstyle \int \limits _{2}^{6}(3t^{2}+1)dt,\quad \int \limits _{0}^{2\pi }\left(2\sin(t)+3\right)dt,\quad \int \limits _{-1}^{0}\exp(2t)dt}$
• ${\textstyle \int \limits _{-4}^{-1}f(t)dt,\quad \int \limits _{-1}^{3}f(t)dt,\quad \int \limits _{3}^{8}f(t)dt}$

${\textstyle {\text{für}}\quad f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{cccrcccl}1&,&{\text{falls}}&&&t&\leq &-2\\2t+5&,&{\text{falls}}&-2&\leq &t&\leq &0\\5-{\sqrt {t}}&,&{\text{falls}}&0&\leq &t&\leq &4\\t-1&,&{\text{falls}}&4&\leq &t&&\end{array}}\right..}$

Für unsere Zwecke sind auch sogenannte uneigentliche Integrale von Bedeutung. Dabei handelt es sich um Integrale, bei denen die untere Grenze ${\textstyle -\infty }$ oder die obere Grenze ${\textstyle \infty }$ ist (oder beides). Man berechnet solche Integrale mit Hilfe von Grenzwerten.

Ist ${\textstyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [}$ eine Funktion mit Stammfunktion ${\textstyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, so ist: $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}\int \limits _{a}^{\infty }f(t)dt&=&\left[F(t)\right]_{a}^{\infty }&=&\lim \limits _{t\to \infty }F(t)&-&F(a)\\\int \limits _{-\infty }^{b}f(t)dt&=&\left[F(t)\right]_{-\infty }^{b}&=&F(b)&-&\lim \limits _{t\to -\infty }F(t)\\\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)dt&=&\left[F(t)\right]_{-\infty }^{\infty }&=&\lim \limits _{t\to \infty }F(t)&-&\lim \limits _{t\to -\infty }F(t)\end{array}}}$$

Man spricht auch dann von einem ’uneigentlichen Integral’, wenn die integrierte Funktion ${\textstyle f}$ eine Defintionslücke hat und diese im Integrationsbereich ${\textstyle [a,b]}$ liegt. Wir behandeln diesen Fall aber im Rahmen dieser Vorlesung nicht.

Für

${\textstyle f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {6}{t^{2}}}&,&{\text{falls}}\ t>1\\0&,&{\text{falls}}\ t\leq 1\end{array}}\right.}$ ist:

${\textstyle \int \limits _{2}^{\infty }f(t)dt=\left[-{\frac {6}{t}}\right]_{2}^{\infty }=\lim \limits _{t\to \infty }\left(-{\frac {6}{t}}\right)-\left(-{\frac {6}{2}}\right)=0-\left(-3\right)=3}$

Für

${\textstyle f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {6}{t}}&,&{\text{falls}}\ t>1\\0&,&{\text{falls}}\ t\leq 1\end{array}}\right\}}$ ist:

${\textstyle \int \limits _{2}^{\infty }f(t)dt=\left[6\ln(t)\right]_{2}^{\infty }=\lim \limits _{t\to \infty }\left(6\ln(t)\right)-6\ln(2)=\infty -6\ln(2)=\infty }$

Für ${\textstyle f(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}}$ ist

${\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)dt=\left[\arctan(t)\right]_{-\infty }^{\infty }}$

${\textstyle =\lim \limits _{t\to \infty }\arctan(t)-\lim \limits _{t\to -\infty }\arctan(t)={\frac {\pi }{2}}-\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)=\pi }$

(Wir begründen an dieser Stelle nicht, dass ${\textstyle \arctan }$ eine Stammfunktion von ${\textstyle f}$ ist.)

Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale. Skizzieren (oder plotten) Sie jeweils auch den Graphen der integrierten Funktion und zeichnen Sie die Fläche ein, die durch das Integral berechnet wird:

• ${\textstyle \int \limits _{-\infty }^{-1}f(t)dt,\quad \int \limits _{1}^{\infty }f(t)dt\quad }$ und ${\textstyle \quad \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)dt\quad }$ für ${\textstyle \quad f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {1}{t^{3}}}&,&{\text{falls}}\ t\leq -1\\1&,&{\text{falls}}\ -1\leq t\leq 1\\{\frac {1}{t^{3}}}&,&{\text{falls}}\ 1\leq t\end{array}}\right.}$
• ${\textstyle \int \limits _{-\infty }^{-1}\exp(t+3)dt\quad }$ und ${\textstyle \quad \int \limits _{2}^{\infty }\exp(t+3)dt}$

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Statistik für Anwender' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Statistik%20f%C3%BCr%20Anwender/Hilfsmittel:%20Integrale
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.