Kurs:Statistik für Anwender/Weitere diskrete Zufallsvariablen

Die nachfolgenden ZV werden hier kurz vorgestellt. Selbstverständlich können auch für die Parameter dieser Verteilungen Punkt- und Intervallschätzungen vorgenommen werden, es soll hier jedoch nicht weiter darauf eingegangen werden.

Die Zufallsvariable ${\textstyle X}$ heißt Poisson-verteilt mit der durch Beobachtung zu erwartenden Ereignishäufigkeit ${\textstyle \lambda }$ , wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist durch
$${\displaystyle P(X=x)={\frac {\lambda ^{x}}{x!}}e^{-\lambda }}$$
für ${\textstyle x\in \mathbb {N} }$.

Die Poissonverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl von Ereignissen an, die unabhängig voneinander in einem räumlichen Gebiet oder zeitlichen Intervall auftreten. Ist ${\textstyle X}$ Poisson-verteilt mit Parameter ${\textstyle \lambda }$, so gilt
$${\displaystyle E(X)=\lambda }$$
und
$${\displaystyle Var(X)=\lambda }$$

Mit ${\textstyle \lambda =1}$ (blau), ${\textstyle \lambda =5}$ (grün) und ${\textstyle \lambda =10}$ (rot).

Für die Poissonverteilung gilt die Rekursionsformel
$${\displaystyle P(X=x)={\frac {\lambda }{k}}\cdot P(X=x-1)}$$
für ${\textstyle x\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}$ und es gilt ${\textstyle P(X=0)=e^{-\lambda }}$.

Es folgt wie zuvor für
$${\displaystyle P(X\leq x)=\sum \limits _{j=0}^{x}{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }}$$
und für
$${\displaystyle P(x\leq X\leq \ell )=\sum \limits _{j=x}^{\ell }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }}$$.

Da bei der Poissonverteilung jedoch theoretisch gesehen unendlich viele Ereignisse in dem betrachteten Intervall auftreten können, wird die kumulierte Verteilung für ${\textstyle P(X\geq x)}$ mittels einer unendlichen Summe dargestellt: $${\displaystyle P(X\geq x)=\sum \limits _{j=x}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }.}$$

Dennoch gilt die Normierbarkeit, da die Wahrschienlichkeiten für ${\textstyle x>\lambda }$ abnehmen und sich beliebig nahe an die ${\textstyle 0}$ annähern. Somit liegt zwar eine unendliche Summe vor, diese konvergiert jedoch, d.h. hat einen endlichen Wert, nämlich
$${\displaystyle P(x\in \Omega )=\sum _{x=0}^{\infty }P(X=x)=1}$$

An einer radioaktiven Probe aus Uran werden pro Sekunde im Mittel ${\textstyle \lambda =4.5}$ Zerfälle gemessen. Die Zufallsvariable ${\textstyle X}$, welche die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde angibt, ist somit Poissonverteilt und es ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
$${\displaystyle P(X=x)={\frac {4.5^{x}}{x!}}e^{-4.5}}$$
Daraus resultieren die folgenden Wahrscheinlichkeiten für ${\textstyle x=0,...10}$:
$${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline P(X=x)&0.0111&0.05&0.1125&0.1687&0.1898&0.1708&0.1281&0.0824&0.0463&0.0232&0.0104\\\hline \end{array}}}$$

$${\displaystyle P(X\geq 3)=0.8264}$$
$${\displaystyle P(X\leq 5)=0.7029}$$
$${\displaystyle P(3\leq X\leq 6)=0.6574}$$
Kommentar: ${\textstyle \sum _{x=0}^{10}P(X=x)=0.9928}$, andere Zerfälle sind auch möglich, aber die Wahrscheinlichkeiten sind so gering, dass sie nicht weiter aufgeführt werden.

$${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{In}}\\\color {blue}{\text{R:}}&\quad \color {blue}{{\text{dpois(}}x,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(X=x)&=&{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}e^{-\lambda }\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{ppois(}}x,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(X\leq x)&=&\sum \limits _{j=0}^{x}{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }\\\hline \\&\quad \color {blue}{1-{\text{ppois(}}x-1,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(X\geq x)&=&\sum \limits _{j=x}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{ppois(}}\ell ,\lambda )-{\text{ppois(}}x-1,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(k\leq T\leq \ell )&=&\sum \limits _{j=x}^{\ell }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }\\\hline \end{array}}}$$

Die Poissonverteilung stellt den Grenzwert für eine binomialverteilte ZV mit unendlich vielen Versuchen dar.

Gegeben sei eine Poissonverteilte ZV ${\textstyle P}$ mit ${\textstyle \lambda =17}$. Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

1. ${\textstyle P(P=17)}$
2. ${\textstyle P(P\leq 20)}$
3. ${\textstyle P(5\leq P\leq 15)}$
4. ${\textstyle P(15\leq P\leq 19)}$
5. ${\textstyle P(P\geq 8)}$

Zufallsexperimente mit geometrisch verteilten ZV können als Spezialfälle binomialverteilter ZV betrachtet werden, wobei hier zwischen zwei Varianten unterschieden wird:

1. Durchführen eines binomialverteilten Zufallsexperiemnt, bis ein "Treffer "
   erzielt wird und die ZV ${\textstyle X}$ gibt die Anzahl der Versuche an.
2. Durchführen eines binomailverteilten Zufallsexperiment, bis ein "Treffer"erzielt wird und die ZV ${\textstyle Y}$ gibt die Anzahl der Fehlversuche an.

Zu Fall 1 (Anzahl der Versuche) mit ${\textstyle p=0.2}$ (blau), ${\textstyle p=0.5}$ (grün) und ${\textstyle p=0.8}$ (rot).

Zu Fall 2 (Anzahl der Fehlversuche) mit ${\textstyle p=0.2}$ (blau), ${\textstyle p=0.5}$ (grün) und ${\textstyle p=0.8}$ (rot).

Die beiden Varianten stehen in der Beziehung ${\textstyle X=Y+1}$.

Somit ergeben sich die beiden folgenden Formeln für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit:

Für die ZV ${\textstyle X}$ gilt:
$${\displaystyle P(X=n)=p\cdot (1-p)^{n-1}\quad (n=1,2,...)}$$
$${\displaystyle P(X\leq n)=\sum _{i=1}^{n}p\cdot (1-p)^{i-1}=1-(1-p)^{n}}$$
$${\displaystyle P(X\geq n)=\sum _{i=n}^{\infty }p\cdot (1-p)^{i-1}=1-(1-(1-p)^{n})=(1-p)^{n-1}}$$
$${\displaystyle E(X)={\frac {1}{p}}}$$
$${\displaystyle Var(X)={\frac {1-p}{p^{2}}}}$$

Für die ZV ${\textstyle Y}$ gilt:
$${\displaystyle P(Y=n)=p\cdot (1-p)^{n}\quad (n=0,1,2,...)}$$
$${\displaystyle P(Y\leq n)=\sum _{i=1}^{n}p\cdot (1-p)^{i}=1-(1-p)^{n+1}}$$
$${\displaystyle P(Y\geq n)=\sum _{i=n}^{\infty }p\cdot (1-p)^{i}=1-(1-(1-p)^{n+1})=(1-p)^{n}}$$
$${\displaystyle E(Y)={\frac {1-p}{p}}}$$
$${\displaystyle Var(Y)=Var(X)}$$

Werfen einer Münze bis zum Eintreten von Kopf.
$${\displaystyle P(X\leq 3)=0.875}$$
$${\displaystyle P(Y\leq 3)=0.9375}$$
$${\displaystyle P(X=5)=0.0313}$$
$${\displaystyle P(Y=5)=0.0156}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{In}}\\\color {blue}{\text{R:}}&\quad \color {blue}{{\text{dgeom(}}n,p)}&{\text{ergibt:}}&P(Y=n)&=&p\cdot (1-p)^{n-1}\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{pgeom(}}n,p)}&{\text{ergibt:}}&P(Y\leq n)&=&p\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}(1-p)^{i-1}\\\hline \\&\quad \color {blue}{1-{\text{pgeom(}}n-1,p)}&{\text{ergibt:}}&P(Y\geq n)&=&p\cdot \sum \limits _{i=n}^{\infty }(1-p)^{i-1}\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{pgeom(}}\ell ,p)-{\text{pgeom(}}n-1,p)}&{\text{ergibt:}}&P(n\leq Y\leq \ell )&=&p\cdot \sum \limits _{i=n}^{\ell }(1-p)^{i-1}\\\hline \end{array}}}$$

In R wird die zweite Varainte betrachtet, welche die Anzahl der Fehlversuche zählt, https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/Geometric.html

Gegeben Sei die geometrisch verteilte ZV ${\textstyle G}$ mit ${\textstyle p=0.7}$. Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und die folgenden Wahrscheinlichkeiten (Variante 2):

1. ${\textstyle P(G=7)}$
2. ${\textstyle P(G\leq 14)}$
3. ${\textstyle P(2\leq G\leq 5)}$
4. ${\textstyle P(8\leq G\leq 17)}$
5. ${\textstyle P(G\geq 4)}$

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Statistik für Anwender' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Statistik%20f%C3%BCr%20Anwender/Weitere%20diskrete%20Zufallsvariablen
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.