Kurs:Stochastik/Bernoulli-Experiment/weitere Eigenschaften

Die Bernoulliverteilung hat folgenden Variationskoeffizient

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {q}{p}}}}$

Für den Parameter ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ist die Bernoulli-Verteilung symmetrisch um den Punkt ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$.

Die Schiefe der Bernoulli-Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}$

Dies kann folgendermaßen gezeigt werden. Eine standardisierte Zufallsvariable ${\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}}$ mit ${\displaystyle X}$ Bernoulli-verteilt nimmt den Wert ${\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}}$ mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ an und den Wert ${\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}}$ mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle q}$. Damit erhalten wir für die Schiefe

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {v} (X)&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q-p)\\&={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}\end{aligned}}}$

Der Exzess der Bernoulli-Verteilung ist

${\displaystyle \gamma (X)={\frac {1-6pq}{pq}}}$

und damit ist die Wölbung

${\displaystyle \beta _{2}(X)={\frac {1-3pq}{pq}}}$

Alle k-ten Momente ${\displaystyle m_{k}}$ sind gleich und es gilt

${\displaystyle m_{k}=p}$.

Es ist nämlich

${\displaystyle m_{k}=E\left(X^{k}\right)=p\cdot 1^{k}+q\cdot 0^{k}=p}$.

Die Entropie der Bernoulli-Verteilung ist

${\displaystyle \mathrm {H} =-q\log _{2}(q)-p\log _{2}(p)}$

gemessen in Bit.

Der Modus der Bernoulli-Verteilung ist

${\displaystyle x_{D}={\begin{cases}0&{\text{falls }}\quad q>p\\0;1&{\text{falls }}\quad q=p\\1&{\text{falls }}\quad q<p\end{cases}}}$.

Der Median der Bernoulli-Verteilung ist

${\displaystyle {\tilde {m}}_{X}={\begin{cases}0&{\text{falls }}\quad q>p,\\1&{\text{falls }}\quad q<p,\end{cases}}}$

falls ${\displaystyle p=q}$ gilt, ist jedes ${\displaystyle {\tilde {m}}_{X}\in [0,1]}$ ein Median.

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

${\displaystyle g_{X}(t)=\ln(pe^{t}+q)}$.

Damit sind die ersten Kumulanten ${\displaystyle \kappa _{1}=p,\kappa _{2}=pq}$ und es gilt die Rekursionsgleichung

${\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.}$

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist

${\displaystyle m_{X}(t)=1-p+pt}$

Die charakteristische Funktion ist

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=1-p+pe^{\mathrm {i} t}}$.

Die momenterzeugende Funktion ist

${\displaystyle M_{X}(t)=1-p+pe^{t}}$