Kurs:Stochastik/Binomialverteilung

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Wir fixieren ein Ereignis ${\displaystyle A\subset \Omega _{1}}$ und setzen ${\displaystyle p=P(A)}$ ("Erfolgswahrscheinlichkeit").

Mit ${\displaystyle b(k;n,p)}$ bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass bei n-maliger unabhängiger Wiederholung des Zufallsexperimentes ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ genau k-mal das Ereignis ${\displaystyle A}$ auftritt. Behauptung:

${\displaystyle b(k;n,p)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k};k=0,1,...,n}$

Auf dem Produktraum ${\displaystyle (\Omega ,P),\Omega =\Omega _{1}^{n},P=P_{1}\times ...\times P_{1},}$ (${\displaystyle P}$ besteht aus n Faktoren), definieren wir die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},...X_{n}}$gemäß

${\displaystyle X_{i}((w_{1},...,w_{n}))=\left\{{\begin{array}{ll}1,&w_{i}\in A\\0,&sonst\end{array}}\right.}$

("Ereignis tritt bei i-ter Wiederholung ein/nicht ein").

${\displaystyle X_{i}}$ hat die sogenannte Binomialverteilung: ${\displaystyle P(X_{i}=1)=p,P(X_{i}=0)=1-p}$.

Die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ sind unabhängig. Setze

${\displaystyle X=X_{1}+...+X_{n},}$

("Häufigkeit des Auftretens von A")

dann ist ${\displaystyle P(X=k)=b(k;n,p)}$.

Zur Berechnung von ${\displaystyle b(k;n,p)}$:
Für jede der ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ Zerlegungen ${\displaystyle \lbrace 1,...,n\rbrace =\lbrace i_{1},...,i_{k}\rbrace \cup \lbrace j_{1},...,j_{n-k}\rbrace }$ (disjunkt) gilt:

${\displaystyle P(X_{i_{1}}=1,...,X_{i_{k}}=1,X_{j_{1}}=0,...,X_{j_{n-k}}=0)}$

${\displaystyle =P(X_{i_{1}}=1)\cdot ...\cdot P(X_{j_{n-k}}=0)=p^{k}(1-p)^{n-k}}$

Also: ${\displaystyle P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

Durch die Formel der Binomialverteilung auf ${\displaystyle \lbrace 1,...,n\rbrace }$ definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung mit den Parametern ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle p}$, kurz ${\displaystyle B(n,p)}$-Verteilung, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,0\leq p\leq 1}$.

Die ${\displaystyle B(1,p)}$-Verteilung heißt auch Bernoulliverteilung, das oben beschriebene Produktexperiment heißt auch Bernoulliexperiment. Man sagt: Die (oben definierte) Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ ist ${\displaystyle B(n,p)}$-verteilt.

Für unabhängige Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ läßt sich die Verteilung der ${\displaystyle P_{X}}$ der Summe ${\displaystyle X=X_{1}+...+X_{n}}$ explizit auf den Randverteilungen berechnen.

Sind ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ unabhängige Zufallsvariablen auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$, so gilt für die Verteilung ${\displaystyle P_{X}}$ von ${\displaystyle X=X_{1}+...+X_{n}}$:

${\displaystyle P_{X}(\lbrace x\rbrace )=\sum _{(x_{1},...,x_{n})\in X_{1}(\Omega )\times ...\times X_{n}(\Omega )}P_{X_{1}}(\lbrace x_{1}\rbrace )\cdot ...\cdot P_{X_{n}}(\lbrace x_{n}\rbrace )}$

für alle ${\displaystyle x\in X(\Omega )}$.

Zerlegung von ${\displaystyle \lbrace X=x\rbrace }$ in paarweise disjunkte Mengen ${\displaystyle A_{(X_{1},...,X_{n})}=\langle X_{1}=x_{1},...,X_{n}=x_{n}\rangle ,X_{1}+...+X_{n}=X}$. Im Fall ${\displaystyle n=2}$ lautet die Behauptung für ${\displaystyle x\in (X_{1}+X_{2})(\Omega )}$

${\displaystyle P_{X_{1}+X_{2}}(\lbrace x\rbrace )=\sum _{x_{1}\in X_{1}(\Omega )}P_{X_{1}}(\lbrace x_{1}\rbrace )\cdot P_{X_{2}}(\lbrace x-x_{1}\rbrace )}$

Die im obigen Satz angegebene Verteilung von ${\displaystyle X=X_{1}+...+X_{n}}$ heißt Faltung der Verteilung ${\displaystyle P_{X_{1}},...,P_{X_{n}}}$.

Notation: ${\displaystyle P_{X}=P_{X_{1}}\ast ...\ast P_{X_{n}}}$

${\displaystyle B(n,p)}$-Verteilung ist eine Faltung von ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B(1,p)}$-Verteilungen:

${\displaystyle B(n,p)=B(1,p)\ast ...\ast B(1,p)}$

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• Binomialverteilung https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
• Datum: 5.11.2018
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