Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel p-nomierbarer Raum

Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen ${\displaystyle p}$-normierbaren Raum und kann kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus.

In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls ${\displaystyle p}$-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine ${\displaystyle p}$-Norm erzeugt wird.

Sei ${\textstyle \mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der Form

$${\displaystyle q(t)=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(q_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{0}}}$$

Für ein ${\displaystyle \alpha >0}$ hat die folgende Reihe

$${\displaystyle q(t)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha ^{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(\alpha ^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{0}}}$$

den Konvergenzradius ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$

Dabei müssen die Potenzreihen ${\textstyle p\in \mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe

$${\displaystyle q(t)=\sum _{k=0}^{\infty }k\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(k)_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{0}}}$$

hat z.B. keinen positiven Konvergenzradius, weil die Folge der Koeffizienten ${\displaystyle (k)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge ${\displaystyle V}$ des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten.

Wir definieren nun den Vektorraum ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit ${\displaystyle 0<p<1}$. Diese ${\displaystyle p}$ definiert später die ${\displaystyle p}$-Homogenität der p-Norm:

$${\displaystyle \|q\|_{p}=\sum _{k=0}^{\infty }|q_{k}|^{p}{\mbox{ mit }}(q_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{0}}}$$

Damit der Vektorraum ${\displaystyle V:=\{q\in \mathbb {R} ^{\infty }[t]\ :\ \|q\|_{p}<\infty \}}$ definiert.

Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen ${\displaystyle q\in V}$ eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer p-Norm nachgewiesen werden.

Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{p}:V\longrightarrow \mathbb {R} _{o}^{+}}$ die ersten drei Eigenschaften ${\textstyle p}$-Norm auf ${\textstyle V}$ erfüllt:

• (PN1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle q\in V}:\left\|q\right\|_{p}\geq 0}$
• (PN2) ${\textstyle \displaystyle \left\|q\right\|_{p}=0\Longrightarrow q=0_{V}}$
• (PN3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle q\in V,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot q\right\|_{p}=|\lambda |^{p}\cdot \left\|q\right\|_{p}}$

Dabei ist ${\displaystyle 0_{V}\in V}$ das Nullpolynom aus ${\displaystyle V}$ ist.

Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine p-Norm ist noch eine Vorbereitung mit dem #Lemma - Subadditivität p-Konvexität notwendig

• (PN4) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle q,r\in V}:\left\|q+r\right\|_{p}\leq \left\|q\right\|_{p}+\left\|r\right\|_{p}}$

Sei ${\textstyle \mathbb {K} }$ ein Körper mit (${\textstyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$) und ${\textstyle 0<p<1}$, dann gilt für alle ${\textstyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }$

$${\displaystyle |\alpha +\beta |^{p}\leq |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}.}$$

Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl.

• Fall 1: ${\displaystyle \alpha =0}$ und
• Fall 2: ${\displaystyle \alpha \not =0}$

Für ${\textstyle \alpha =0}$ folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit:

$${\displaystyle |\alpha +\beta |^{p}=|\beta |^{p}=0+|\beta |^{p}=\underbrace {|\alpha |^{p}} _{=0}+|\beta |^{p}}$$

Für ${\textstyle \alpha \not =0}$ formuliert man die Behauptung

${\displaystyle |\alpha +\beta |^{p}\leq |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}}$

durch Multiplikation mit ${\textstyle {\frac {1}{|\alpha |^{p}}}}$ wie folgt um:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}|\alpha +\beta |^{p}&\leq &|\alpha |^{p}+|\beta |^{p}\ \ \Longleftrightarrow \\|1+\gamma |^{p}&\leq &1+|\gamma |^{p}{\mbox{ mit }}\gamma :={\frac {\beta }{\alpha }}\\\end{array}}}$$

Weil die Funktion ${\displaystyle g:\mathbb {R} _{o}^{+}\to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ mit ${\displaystyle g(x):=x^{p}}$ ein streng monotone Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} _{o}^{+}}$ ist und die Dreiecksungleichung auf ${\displaystyle (\mathbb {K} ,|\cdot |)}$ gilt erhält man für ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {K} }$:

${\displaystyle |1+\gamma |\leq |1|+|\gamma |\Longrightarrow g(|1+\gamma |)\leq g(|1|+|\gamma |)}$

und damit gilt ${\displaystyle |1+\gamma |^{p}\leq {\big (}|1|+|\gamma |{\big )}^{p}={\big |}|1|+|\gamma |{\big |}^{p}}$.

Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt,

${\displaystyle |1+\gamma |^{p}\leq 1+|\gamma |^{p}}$

benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung

${\displaystyle {\big |}1+\underbrace {|\gamma |} _{=t}{\big |}^{p}\leq 1+{\underbrace {|\gamma |} _{=t}}^{p}}$

Weil ${\textstyle |1+\gamma |^{p}\leq |1+|\gamma ||^{p}}$ gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare ${\textstyle t\geq 0}$ abzuschätzen und man zeigt dann ${\textstyle (1+t)^{p}\leq 1+t^{p}}$.

Man formt die Ungleichung ${\textstyle (1+t)^{p}\leq 1+t^{p}}$ zu ${\textstyle (1+t)^{p}-t^{p}\leq 1}$ und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion ${\displaystyle f(t)=(1+t)^{p}-t^{p}}$ mit ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{o}^{+}}$.

Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f:\mathbb {R} _{o}^{+}&\longrightarrow &\mathbb {R} ,t\longmapsto (1+t)^{p}-t^{p}{\mbox{ mit der Ableitung }}\\f':\mathbb {R} _{o}^{+}&\longrightarrow &\mathbb {R} ,t\longmapsto \underbrace {\left({\frac {1}{(1+t)^{1-p}}}-{\frac {1}{t^{1-p}}}\right)} _{<0}\cdot p\end{array}}}$

Mit ${\displaystyle t>0}$ gilt ${\displaystyle (1+t)^{1-p}>t^{1-p}}$ und damit ${\displaystyle {\frac {1}{(1+t)^{1-p}}}<{\frac {1}{t^{1-p}}}}$. Damit ist ${\displaystyle f}$ für alle ${\displaystyle t>0}$ monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und ${\textstyle f(0)=1}$ und ${\displaystyle f'(t)<0}$ für alle ${\displaystyle t>0}$ gilt ${\textstyle f(t)\leq 1}$ für alle ${\displaystyle t\geq 0}$. Damit folgt die Behauptung.${\displaystyle \Box }$

• Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die p-Norm über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur Subadditivität bzgl. p-Konvexität:
• (PN4) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle q,r\in V}:\left\|q+r\right\|_{p}\leq \left\|q\right\|_{p}+\left\|r\right\|_{p}}$
• Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf ${\displaystyle V}$. Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf ${\displaystyle V}$ (d.h. für ${\displaystyle q,r\in V}$ gilt auch ${\displaystyle q\cdot r\in V}$.
• Ist die oben definierte p-Norm auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für ${\displaystyle q,r\in V}$ gilt auch ${\displaystyle \|q\cdot r\|_{p}\leq \|q\|_{p}\cdot \|r\|_{p}}$.

• Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York, 15.10, S.162-166.

• Potenzreihenalgebra
• p-Norm
• Wiki2Reveal

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