Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra - Beispiel

In dieser Lerneinheit betrachten wir ein Beispiel zu lokalbeschränkten Räumen und untersuchen die Eigenschaften im Vergleich zu einer normierten Algebra.

Man betrachtet den Folgenraum ${\displaystyle x:=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$. Für ${\displaystyle p\in (0,1]}$ definiert man folgende Abbildung:

• ${\displaystyle \|x\|_{p}:=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}}$
• mit dem Raum ${\displaystyle l_{p}:=\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\,:\,\|x\|_{p}<\infty \}}$

Man betrachtet nun die Abbildung ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}:l_{p}\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$.

• Untersuchen Sie, ob ${\displaystyle l_{p}}$ mit dem Cauchy-Produkt eine topologische Algebra ist.
• Ist die Algebra lokalbeschränkt?

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