Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus

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Nun ist die Algebraerweiterung ${\displaystyle B}$ topologisiert und es ist noch nachzuweisen, dass die bijektive Abbildung ${\displaystyle \tau }$ und ${\displaystyle \tau ^{-1}}$ als lineare Abbildungen stetig sind (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen)

Für die Stetigkeit der Umkehrabbildung ${\displaystyle \tau ^{-1}}$ gilt bzgl. dem Nullpolynom ${\displaystyle 0_{A[t]}\in I}$:

${\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}^{(B)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,n)}\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{(\alpha ,n)}=C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x\|_{(n,0)}^{(\alpha )}=\|x\|_{(\alpha ,n)}}$

Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle A'\subset B:=A[t]/I}$ stetig mit ${\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}^{(B)}\leq \|x\|_{(\alpha ,n)}}$.

Unter Verwendung der Abschätzung ${\displaystyle \|x\|_{A}\leq D\cdot \|z\cdot x\|_{A}}$ erhält man

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|x&+&r|\!\|_{(\alpha ,n)}=C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|z\cdot q_{k-1}-q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\\\\&\geq &C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \left(\|z\cdot q_{k-1}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}-\|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\right)\\\\&\geq &C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|z\cdot q_{k-1}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}-C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k-1}^{n}(\alpha )\cdot \|q_{k-1}\|_{(n,k-1)}^{(\alpha )}-C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\|q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}\geq \|x\|_{(\alpha ,n)}\end{array}}}$

Durch Infimumbildung über alle Polynome ${\displaystyle r\in I}$ bleibt die obige Ungleichung erhalten. ${\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}^{(B)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,n)}\geq \|x\|_{(\alpha ,n)}}$

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