Kurs:Vorkurs Mathematik (Bielefeld 2009)/Quadratische Gleichungen

Zwei Seiten haben die Länge ${\displaystyle {}a}$, zwei andere Seiten die Länge ${\displaystyle {}b}$; gegebenenfalls ist ${\displaystyle {}a=b}$. Es gilt ${\displaystyle {}U=2a+2b}$ und ${\displaystyle {}A=ab}$.

Auflösen der ersten Gleichung nach ${\displaystyle {}b}$ ergibt ${\displaystyle {}b={\frac {U}{2}}-a}$. Einsetzen in die zweite Gleichung: ${\displaystyle {}A=a\left({\frac {U}{2}}-a\right)=a{\frac {U}{2}}-a^{2}}$. Umstellen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: ${\displaystyle {}a^{2}-{\frac {U}{2}}a+A=0}$.

Man beachte, dass der Wert unter der Wurzel nie negativ wird und nur für den Speziallfall eines Quadrats null wird: Alle allgemeinen Rechtecke haben im Verhältnis zum Quadrat bei gleicher Fläche einen größeren Umfang.

Also hat diese Gleichung typischerweise zwei Lösungen für ${\displaystyle {}a}$, nämlich ${\displaystyle {}{\frac {U}{4}}\pm {\sqrt {{\frac {U^{2}}{16}}-A}}}$. Eine der beiden Lösungen ist dann ${\displaystyle {}a}$, die andere ist ${\displaystyle {}b}$. Wenn unter der Wurzel der Wert null steht, hat man ein Quadrat und es gibt nur eine Lösung ${\displaystyle {}a=b=U/4}$.