Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die Quadratrestgruppe
\mathdisp {\Q^\times / \Q^{\times 2}} { , }
wobei
\mathl{\Q^{\times 2}}{} die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \Q^\times / \Q^{\times 2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen Repräsentanten aus $\Z$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} { \left \lfloor 2x \right \rfloor - 2 \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von
\mathl{100!}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung von $10!$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung von
\mathdisp {\binom { 20 } { 10 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Hilfe
des Bertrandschen Postulats,
dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Binomialkoeffizient}{}{}
\mathdisp {\binom { 2n } { n }} { }
einen Primfaktor größer als $n$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Fakultät
\mathl{n!}{} keine Quadratzahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.
}
{} {}
Zur Erinnerung.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{}
$b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mathkor {} {\log_b { \left( b^x \right) } = x} {und} {b^{\log_b(y)} = y} {,}
das heißt der Logarithmus zur Basis $b$ ist die Umkehrfunktion zur
\definitionsverweis {Exponentialfunktion zur Basis}{}{}
$b$.
}{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \log_{ b } (y \cdot z)
}
{ = }{ \log_{ b } y + \log_{ b } z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \log_{ b } y^u
}
{ = }{ u \cdot \log_{ b } y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ a } y
}
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) }
}
{ =} { \log_{ b } y \cdot \log_{ a } b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\varphi ( n )}$ die
\definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathbed {{ \frac{ {\varphi ( n )} }{ n } }} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
sowohl in
\mathkor {} {1} {als auch in} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {}
einen
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei ${\varphi ( n )}$ die
\definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathbed {{ \frac{ {\varphi ( n )} }{ n } }} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
sowohl in
\mathkor {} {1} {als auch in} {0} {}
einen Häufungspunkt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Beweise
Korollar 12.5,
also die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, mit Hilfe von
Korollar 11.6
über die Riemannsche $\zeta$-Funktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme anhand des Beweises
der Abschätzungen von Tschebyschow
einen expliziten Wert für $c$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(x)
}
{ \geq }{ c \frac{x}{\ln (x)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige unter Verwendung der Abschätzungen von Tschebyschow, dass es \zusatzklammer {zumindest für $x$ hinreichend groß} {} {} mehr Primzahlen zwischen $x$ und $x^2$ als zwischen $1$ und $x$ gibt.
}
{} {}
| << | Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017) | >> |
|---|