Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Konstruiere einen Körper ${\mathbb F}_9$ mit $9$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in ${\mathbb F}_{ 9 }$ für jedes Element $\neq 0$ die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{.} Man gebe insbesondere die \definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $F$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit $p^2$ Elementen. Welche
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} zwischen
\mathl{\Z/(p^2)}{} und $F$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$. Sei
\maabb {F} { K } { K
} {}
der
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass genau die Elemente aus
\mathl{\Z/( p )}{} invariant unter $F$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Sei \maabbeledisp {\varphi = F^{e}} { K } { K } { x } { x^{p^{e} } } {} die $e$-te Iteration des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{.} Zeige, dass es maximal $p^{e}$ Elemente gibt, die unter $\varphi$ invariant sind, und dass diese Elemente einen Unterkörper von $K$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{}
von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $F'$ die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{}
von $F$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gehe zur Seite \einrueckung{Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln} und erstelle für einen der dort angegebenen Körper Additions- und Multiplikationstafeln.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Konstruiere
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{}
mit
\mathl{4,8,9,16,25,27,32,49,64,81,121,125}{} und
\mathl{128}{} Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { \Z/( 7 ) [T]/(T^3-2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
}{Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.
}{Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdreiabc{Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ X^3+X+2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Z/( 5 ) [X]}{.}
}{Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { \Z/( 5 ) [T]/(T^2-2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
}{Bestimmen die Primfaktorzerlegung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ X^3+X+2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/( 5 ) [T]/(T^2-2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\Phi} {{\mathbb F}_{49}} {{\mathbb F}_{49} } {} bezüglich einer geeigneten ${\mathbb F}_7$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von ${\mathbb F}_{49}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\mathbb F_q$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich $2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus $\mathbb F_q^{\times}$ ein Quadrat in $\mathbb F_q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige \definitionsverweis {endliche Körper}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
der Charakteristik
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass es in $K$ Elemente gibt, die keine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
besitzen.
}{Zeige, dass es eine endliche nichttriviale
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
zwei gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mathbed {q=p^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass
\mathl{\Z/(p^n)}{} kein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über
\mathl{\Z/(p)}{} sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {kommutativen Ringe}{}{}
\mathl{\Z/(13)}{,}
\mathl{\Z/(169)}{} und ${\mathbb F}_{169}$. Bestimme alle
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{}
zwischen diesen drei Ringen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativen Ringe mit $6$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von ${\mathfrak p}$ eine echte Primzahlpotenz ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ = }{ p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei ${\mathbb F}_q$ der
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit $q$ Elementen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ {\mathbb F}_q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
darüber. Zeige, dass jeder
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$R/{\mathfrak a}$ zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2+xy
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \mathbb F_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$\mathbb F_4$ und $\mathbb F_8$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen
\maabbeledisp {\varphi_d} { K } { K
} { x } { x^d
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ d
}
{ < }{ q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
} {Zeige, dass die Exponentialfunktionen
\maabbeledisp {\psi_b} { K } { K
} { x } { b^x
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ b
}
{ < }{ q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
linear unabhängig sind.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine $\Z$-Basis von $R$ mit
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\mathdisp {\triangle(f_1 , \ldots , f_n)} { . }
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{hf_1 , \ldots , hf_n}{} eine $\Z$-Basis des Hauptideals $(h)$ bildet und dass gilt:
\mathdisp {\min\{ \betrag { \triangle (b_1 , \ldots , b_n) } :\, (b_1 , \ldots , b_n) \, \Z\mbox{-Basis von } (h) \} = N(h)^2 \betrag { \triangle (f_1 , \ldots , f_n) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e,d
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige:
\mathl{{\mathbb F}_{ p^d }}{} ist genau dann ein Unterkörper von
\mathl{{\mathbb F}_{ p^e }}{}, wenn $e$ ein Vielfaches von $d$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Sei $q$ eine echte Primzahlpotenz und ${\mathbb F}_q$ der zugehörige
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{.} Zeige, dass in
\mathl{{\mathbb F}_{q^2}}{} jedes Element aus ${\mathbb F}_q$ ein Quadrat ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{}
vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von $L$, ähnlich wie in
Lemma 19.9.
}
{} {}
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