Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Rx
}
{ \subseteq} {Ry
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
äquivalent.
\aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf { $x$ teilt $y$.
}{ $x$ wird von $y$ geteilt.
}{ $y$ wird von $x$ geteilt.
}{ $x$ ist ein Vielfaches von $y$.
}{ $x$ ist ein Vielfaches von $x$.
} } {\itemfuenf { $y$ teilt $x$.
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Rx \cap Ry
}
{ = }{ Rx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Jedes Vielfache von $y$ ist auch ein Vielfaches von $x$.
}{Jeder Teiler von $y$ ist auch ein Teiler von $x$.
}{Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.
} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $R$ ist.
}{Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Begriffe Untergruppe und Ideal zusammenfallen.
}{ Man gebe eine Beispiel für einen kommutativen Ring $R$ und eine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die kein Ideal ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q,r$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq }{ r
}
{ < }{ d
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ =} { dq+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} { R } { S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\Z[X]$ und der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen
\mathl{K[X,Y]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ keine
\definitionsverweis {Hauptidealbereiche}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { C(\R,\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} { { \left\{ f \in R \mid f(x) = 0 \text{ für alle } x \in T \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten das Ideal zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ \{0\}
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Sinne von
Aufgabe 2.7.
Ist dies ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1, a_2 , \ldots , a_n, b,f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzweiabc{Wenn $b$ ein
\definitionsverweis {größter gemeinsamer Teiler}{}{}
der
\mathl{a_1, a_2 , \ldots , a_n}{} ist, so ist auch $fb$ ein größter gemeinsamer Teiler der
\mathl{fa_1, fa_2 , \ldots , fa_n}{.}
}{Wenn $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei
\definitionsverweis {irreduzible}{}{,}
nicht
\definitionsverweis {assoziierte}{}{}
Elemente in einem
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
Zeige, dass
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass $p$ genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, wenn es genau zwei
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
oberhalb von
\mathl{(p)}{} gibt, nämlich
\mathl{(p)}{} selbst und
\mathl{(1)= R}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $r$ und $s$
\definitionsverweis {teilerfremde Zahlen}{}{.}
Zeige, dass jede Lösung
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rx+sy
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y)
}
{ = }{ v(s,-r)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten Zahl $v$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass die in Aufgabe 2.12 bewiesene Aussage ohne die Voraussetzung teilerfremd nicht stimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
von $\Z $ genau die Teilmengen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z d
}
{ =} { { \left\{ kd \mid k \in \Z \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.
}
{} {}
Der Begriff des größten gemeinsamen Teilers wird innerhalb der ganzen Zahlen häufig wie folgt definiert.
Es seien
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{}
\definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.}
Eine natürliche Zahl $g$ heißt \definitionswort {größter gemeinsamer Teiler}{} der
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{,} wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn $g$ unter allen gemeinsamen Teilern der
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{} der
\zusatzklammer {bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen} {} {}
Größte ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative
\definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{}
der $a_i$
\zusatzklammer {im Sinne der allgemeinen Ringdefinition} {} {} mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation $\geq$ der größte gemeinsame Teiler ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige anhand der beiden \definitionsverweis {Gaußschen Zahlen}{}{} \mathkor {} {1+ { \mathrm i}} {und} {2} {,} dass bei einem \definitionsverweis {euklidischen Bereich}{}{} die Division mit Rest nicht eindeutig sein muss. Man gebe vier gleichberechtigte Darstellungen für die Division mit Rest von \anfuehrung{ $1+ { \mathrm i}$ durch $2$}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Z[{ \mathrm i}]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{5+2{ \mathrm i}}{} und
\mathl{3+7{ \mathrm i}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{}
mit euklidischer Funktion $\delta$. Zeige, dass ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien $n$
\zusatzklammer {verschiedene} {} {}
natürliche Zahlen gegeben. Zeige, dass es eine nichtleere Teilmenge dieser Zahlen derart gibt, dass die zugehörige Summe ein Vielfaches von $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung $78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung
\mathl{126}{} cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen
\mathl{-123, 55}{} und $-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position $17$ bzw.
\mathl{109}{.} Welche Flöhe können sich treffen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise folgende Aussagen für einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
\aufzaehlungdrei{Das Element $a$ ist ein Teiler von $b$
\zusatzklammer {also
\mathl{a {{|}} b}{}} {} {}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b)
}
{ \subseteq }{ (a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{ $a$ ist eine Einheit genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a)
}
{ = }{ R
}
{ = }{ (1)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ist $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
so gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a)
}
{ = }{ (b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn $a$ und $b$
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass im Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{-2}]
}
{ = }{ \Z \oplus \Z \sqrt{2} { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
eine
\definitionsverweis {euklidische Funktion}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:
\aufzaehlungzwei {Es gibt ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
eindeutig als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ up^{i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
darstellen lässt mit einer Einheit $u$ und
\mathl{i \in \N}{.}
} { $R$ ist ein
\definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{}
mit einer surjektiven euklidischen Funktion
\mathl{\delta: R \setminus \{0 \} \rightarrow \N}{,} die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungzweiabc{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(fg)
}
{ = }{ \delta(f) + \delta(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ R \setminus \{0 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt
\mathl{f {{|}} g}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(f)
}
{ \leq }{ \delta(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ R \setminus \{0 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?
}
{} {}
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