Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle primitiven Elemente von
\mathl{{\mathbb Z}/(27)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdreiabc{Finde ein primitives Element in $\Z/( 3 )$, in $\Z/( 9 )$ und in $\Z/(27)$. }{Finde eine ganze Zahl, die in $\Z/( 3 )$ primitiv ist, aber nicht in $\Z/( 9 )$. }{Zeige, dass jede ganze Zahl, die in $\Z/( 9 )$ primitiv ist, auch in $\Z/(27)$ primitiv ist. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe für die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{({\mathbb Z}/(16))^\times}{} explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung
\maabbdisp {} { { \left( \Z/(p^r) \right) }^{\times} } { { \left( \Z/(p^{r-1} ) \right) }^{\times}
} {.}
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe bezeichnet
\mathl{{\mathbb F}_{ 121 }}{} den Körper mit $121$ Elementen. Darüber hinaus muss muss man nichts über ihn wissen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde ein primitives Element in
\mathl{\Z/(11)}{} und in
\mathl{\Z/(121)}{.} Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in
\mathl{\Z/(121)}{} an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in
\mathl{{\mathbb F}_{121}}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche
\definitionsverweis {quadratische Reste}{}{}
modulo der
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
\mathl{< 20}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige unter Verwendung
des Satzes von Wilson,
dass
\mathl{\frac{p-1}{2} !}{} eine Quadratwurzel von $-1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Zerlegung von
\mathl{X^{p-1}-1}{} in
\definitionsverweis {irreduzible Polynome}{}{}
im Polynomring
\mathl{\Z/(p)[X]}{.} Beweise aus dieser Zerlegung
den Satz von Wilson.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \Z/( p )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {primitiv}{}{.}
Zeige, dass von den $p$ Elementen aus
\mathl{\Z/(p^2)}{,} die auf $a$ abgebildet werden, genau
\mathl{p-1}{} Stück primitiv in
\mathl{\Z/(p^2)}{} sind. Finde für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
dasjenige Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ \Z/(49)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ = }{ a \mod 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das nicht primitiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde Quadratwurzeln für $2$ modulo $p$ für alle Primzahlen $p$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ \pm 1 \mod 8
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \leq }{ 32
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{} einer \definitionsverweis {zyklischen Gruppe}{}{} wieder zyklisch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { H_1 \times \cdots \times H_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Produktgruppe}{}{}
der endlichen Gruppen
\mathl{H_1 , \ldots , H_n}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp G
}
{ =} {
\operatorname{kgV} ( \exp H_i , i = 1 , \ldots , n )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} { $G$ ist genau dann
\definitionsverweis {zyklisch}{}{,}
wenn alle $H_i$ zyklisch sind und wenn deren Ordnungen paarweise
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Was besagt die Artinsche Vermutung über primitive Reste?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und
\mathl{S_1 , \ldots , S_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} {S_1 \times \cdots \times S_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { R } { S
} {}
dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen
\maabbdisp {\varphi_i} { R } { S_i
} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $a$, $b$ und $r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit
\mathl{a^r {{|}} b ^r}{} die Teilbarkeit
\mathl{a {{|}} b}{} impliziert.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass
\mathl{{ \left( \Z/( n ) \right) }^{\times}}{}
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich
\mathl{\varphi(\varphi(n))}{} ist, wobei $\varphi$ die
\definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{}
bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn
\mathl{{ \left( \Z/( n ) \right) }^{\times}}{} nicht zyklisch ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (3+2+2)}
{
\aufzaehlungdreiabc{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} von $K$ nicht \definitionsverweis {zyklisch}{}{} unendlich ist. }{Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} dessen \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist. }{Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das Potenzieren
\maabbeledisp {} { { \left( \Z/( p ) \right) }^{\times} } { { \left( \Z/( p ) \right) }^{\times}
} { x } { x^e
} {,}
genau dann eine Bijektion ist, wenn $e$ und $p-1$
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_p
}
{ = }{ \Z/( p )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_p[ { \mathrm i} ]
}
{ =} { {\mathbb F}_p \oplus {\mathbb F}_p { \mathrm i}
}
{ =} { { \left\{ a+b { \mathrm i} \mid a,b \in {\mathbb F}_p \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche $p$ diese Konstruktion einen Körper liefert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien $a$ und $b$ positive natürliche Zahlen. Es seien
\mathl{r_n \, ,n \in \N}{,} und
\mathl{s_n \, ,n \in \N}{,} Folgen von positiven natürlichen Zahlen derart, dass die Teilbarkeitsbeziehung
\mathdisp {a ^{r_n } {{|}} b ^{s_n }} { }
für alle $n$ gilt. Es sei vorausgesetzt, dass die Quotientenfolge
\mathl{r_n/s_n}{} gegen $1$ konvergiert. Zeige, dass $a$ ein Teiler von $b$ ist.
}
{} {}
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