Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{}
von
\mathl{\Z/( p )}{} nie ein
\definitionsverweis {quadratischer Rest}{}{}
ist. Bestimme für die Primzahlen $\leq 20$, ob darin jeder nichtquadratische Rest primitiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die kleinste Primzahl $p$ derart, dass es in
\mathl{\Z/( p )}{} ein Element $a$ gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich
\mathl{-1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{?}
Wie viele Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{,} die weder primitiv noch ein Quadrat sind?
Es sei $x$ ein primitives Element von
\mathl{\Z/(31)}{.} Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Ziffern treten im Dezimalsystem als Endziffern von Quadratzahlen auf?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Quadrate in
\mathl{\Z/(35)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungfuenf{Finde die kleinste Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo $n$.
}{Finde die kleinste Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ < }{ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo $p$.
}{Finde die größte Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo $p$ die Quadratzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ < }{ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}{Untersuche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { 8,16,32
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in Hinblick auf die Eigenschaft, ob es neben den Quadraten noch weitere Quadratreste modulo $n$ gibt.
}{Finde die größte
\zusatzklammer {?} {} {}
Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo $n$ die Quadratzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
Satz 6.6
für
\mathl{\Z/(25)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $n$ eine ungerade Zahl. Zeige, dass es in
\mathl{\Z/( n )}{} maximal
\mathl{{ \frac{ n+1 }{ 2 } }}{} Quadratreste gibt. Wie sieht dies bei $n$ gerade aus?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 13
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vielfachen
\mathl{ik \mod 13}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , 6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-6$ und $6$. Berechne damit die Vorzeichen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon_i
}
{ = }{ \epsilon_i(3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bestätige
das Gaußsche Vorzeichenlemma
an diesem Beispiel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 17
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vielfachen
\mathl{ik \mod 17}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , 8
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-8$ und $8$. Berechne damit die Vorzeichen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon_i
}
{ = }{ \epsilon_i(5)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bestätige
das Gaußsche Vorzeichenlemma
an diesem Beispiel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Anzahl von $K$ ungerade ist, und dass es in $K$ genau
\mathl{{ \frac{ { \# \left( K \right) } +1 }{ 2 } }}{} Quadrate gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie viele Lösungen hat die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^5
}
{ =} { a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Z/(19)}{} für ein gegebenes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \Z/(19)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere diejenigen positiven ungeraden Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass bei dem in Aufgabe 1.25 beschriebenen Algorithmus genau zwei ungerade Zahlen auftreten \zusatzklammer {nämlich $n$ und $1$, aber beliebig viele gerade Zahlen} {} {.}
}
{} {}
Die Begriffe teilen, irreduzibel und prim machen in jedem
\definitionsverweis {Monoid}{}{}
Sinn
\zusatzklammer {nicht nur im multiplikativen Monoid eines Ringes} {} {.}
In den folgenden Aufgaben werden Teilbarkeitseigenschaften in einigen kommutativen Monoiden besprochen.
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die natürlichen Zahlen $\N$ als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element $0$. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Menge $M$ derjenigen positiven Zahlen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben. Zeige, dass $M$ mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $M$. Zeige, dass in $M$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $M$ gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Eulersche Kriterium für beliebige Potenzreste.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei $e$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ { \left( \Z/( p ) \right) }^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine $e$-te Wurzel besitzt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k^{\frac{p-1}{e} }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 23
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 8
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vielfachen
\mathl{ik \mod 23}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , 11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-11$ und $11$. Berechne damit die Vorzeichen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon_i
}
{ = }{ \epsilon_i(8)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bestätige
das Gaußsche Vorzeichenlemma
an diesem Beispiel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde die Lösungen der Kongruenz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x^2+ 5x+4
}
{ =} { 0 \mod 91
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass im Restklassenring $\Z/( n )$ die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente $a,b$ genau dann
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a)
}
{ = }{ (b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von $n,a$ und $b$ aufbaut.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe setzt eine gewisse Routine im Umgang mit kommutativen Ringen voraus.
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei Elementen $a$ und $b$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a)
}
{ = }{(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, dass aber $a$ und $b$ nicht
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die Menge $G$ der positiven geraden Zahlen zusammen mit $1$. Zeige, dass $G$ ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $G$. Zeige, dass in $G$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $G$ gilt.
}
{} {}
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