Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $x$ und $y$ ungerade. Zeige, dass
\mathl{x^2+y ^2}{} keine Quadratzahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(x,y,z)}{} ein
\definitionsverweis {pythagoreisches Tripel}{}{.}
Zeige, dass $x$ oder $y$ ein Vielfaches von $3$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdreiabc{Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ \neq} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die in Satz 10.4 beschriebene rationale Parametrisierung des Einheitskreises injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere ein Dreieck $D$ derart, dass eine Höhe das Dreieck $D$ in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke $D_1$ und $D_2$ unterteilt so, dass die Seitenlängen von $D_1$ und $D_2$ jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Multiplikation in
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}{} eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ] ^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 5 } } + { \frac{ 4 }{ 5 } } { \mathrm i}
}
{ \in }{ S^1_\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\R
}
{ =} { { \left\{ z \in \R[ { \mathrm i} ] \cong {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{\R/\Z}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { r^2 +s^2
}
{ =} { (r+ { \mathrm i} s)(r- { \mathrm i} s)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Summen von zwei Quadraten mit der zugehörigen Zerlegung in
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{.} Berechne $n^2$ auf zwei verschiedene Weisen und zeige damit, dass
\mathdisp {{ \frac{ r^2-s^2+2rs { \mathrm i} }{ n } }} { }
ein Punkt auf dem rationalen Einheitskreis ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der rationale Einheitskreis \zusatzklammer {als Gruppe} {} {} nicht endlich erzeugt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die beiden \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} \mathkor {} {(\Q,0,+)} {und} {(\Q_+,1, \cdot)} {} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { \Q[ { \mathrm i} ] ^{\times} } { (\Q_+,1, \cdot) } {x+ { \mathrm i} y} { x^2+y^2 } {,} nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Hilfe des
\definitionsverweis {pythagoreischen Tripels}{}{}
\mathl{(9,40,41)}{,} dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $5$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige mit Hilfe der Aussage, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^4 -y^4
}
{ = }{ z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die quadratische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2-5y^2
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
keine ganzzahlige Lösung besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass in
\mathl{\Z/(29)}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4 +y^4 +z^4
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0,0)}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab
}
{ = }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a-1)d
}
{ = }{ c-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde mindestens eine ganzzahlige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y)
}
{ \in }{ \N_+ \times \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die diophantische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^{k} +1
}
{ =} { y^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k, n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige: Um
den Satz von Wiles
für alle Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige unter Verwendung
des Satzes von Wiles,
dass die diophantische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+y^n+z^n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine von
\mathl{(0,0,0)}{} verschiedene Lösung besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige die folgenden Identitäten.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2^3
}
{ =} { 3^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^5 + 7^2
}
{ =} { 3^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 13^2 + 7^3
}
{ =} { 2^9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige die folgende Identität.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5
}
{ =} {144^5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestätige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-2+ { \mathrm i})^3 + (-2- { \mathrm i} )^3
}
{ =} { (1+ { \mathrm i})^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ] ^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen
\mathl{ S^1_\Q}{} und
\mathl{\Q/\Z}{} nicht
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme in
\mathl{\Z/(11)}{} alle Lösungen
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme in
\mathl{\Z/(7)}{} alle Lösungen
\mathl{(x,y)}{} der diophantischen quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x^2+2y^2+5xy+4x+8y+6
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Approximiere die
\zusatzklammer {obere} {} {}
primitive dritte Einheitswurzel auf dem rationalen Einheitskreis mit einem Fehler von maximal
\mathl{1/1000000}{.}
}
{} {}