Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 12/kontrolle

Zeige, dass für jedes ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ die Abschätzungen

${\displaystyle {}0\leq \left\lfloor 2x\right\rfloor -2\left\lfloor x\right\rfloor \leq 1\,}$

gelten.

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von ${\displaystyle {}100!}$.

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}10!}$.

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\displaystyle {\binom {20}{10}}.}$

Zeige mit Hilfe des Bertrandschen Postulats, dass für jedes ${\displaystyle {}n\geq 2}$ der Binomialkoeffizient

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$

einen Primfaktor größer als ${\displaystyle {}n}$ besitzt.

Zeige, dass für ${\displaystyle {}n\geq 2}$ die Fakultät ${\displaystyle {}n!}$ keine Quadratzahl ist.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Zeige, dass das Produkt von ${\displaystyle {}n}$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von ${\displaystyle {}n!}$ geteilt wird.

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis ${\displaystyle {}b}$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es ist ${\displaystyle {}\log _{b}{\left(b^{x}\right)}=x}$ und ${\displaystyle {}b^{\log _{b}(y)}=y}$, das heißt der Logarithmus zur Basis ${\displaystyle {}b}$ ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis ${\displaystyle {}b}$.
2. Es gilt ${\displaystyle {}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z}$.
3. Es gilt ${\displaystyle {}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y}$ für ${\displaystyle {}u\in \mathbb {R} }$.
4. Es gilt

   ${\displaystyle {}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\varphi (n)}}$ die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge ${\displaystyle {}{\frac {\varphi (n)}{n}}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, sowohl in ${\displaystyle {}1}$ als auch in ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}}$ einen Häufungspunkt besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}{\varphi (n)}}$ die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge ${\displaystyle {}{\frac {\varphi (n)}{n}}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, sowohl in ${\displaystyle {}1}$ als auch in ${\displaystyle {}0}$ einen Häufungspunkt besitzt.

Beweise Korollar 12.5, also die Aussage, dass

${\displaystyle {}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x}}=0\,}$

ist, mit Hilfe von Korollar 11.6 über die Riemannsche ${\displaystyle {}\zeta }$-Funktion.

Bestimme anhand des Beweises der Abschätzungen von Tschebyschow einen expliziten Wert für ${\displaystyle {}c}$ mit ${\displaystyle {}\pi (x)\geq c{\frac {x}{\ln(x)}}}$.

Zeige unter Verwendung der Abschätzungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für ${\displaystyle {}x}$ hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen ${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}x^{2}}$ als zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}x}$ gibt.