Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 15

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper mit ${\displaystyle {}R\subseteq K}$. Zeige, dass dann auch ${\displaystyle {}Q(R)\subseteq K}$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${\displaystyle {}K=Q(R)}$. Zeige, dass jedes Element ${\displaystyle {}f\in K}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

${\displaystyle {}f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,}$

mit einer Einheit ${\displaystyle {}u\in R}$ und ganzzahligen Exponenten ${\displaystyle {}r_{i}}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${\displaystyle {}K=Q(R)}$. Es sei ${\displaystyle {}a\in K}$ ein Element mit ${\displaystyle {}a^{n}\in R}$ für eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n\geq 1}$. Zeige, dass dann schon ${\displaystyle {}a}$ zu ${\displaystyle {}R}$ gehört.

Betrachte die rationalen Zahlen ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0)}$ als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.

Betrachte die rationalen Zahlen ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0)}$ als kommutative Gruppe. Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {Q} }$ eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ zyklisch ist.

Bestimme einen Erzeuger für die Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq (\mathbb {Q} ,+,0)}$, die durch die rationalen Zahlen

${\displaystyle {\frac {8}{7}},\,{\frac {5}{11}},\,{\frac {7}{10}}\,}$

erzeugt wird.

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q} }$, das durch die rationalen Zahlen

${\displaystyle {\frac {3}{7}},\,{\frac {5}{6}},\,{\frac {3}{10}}\,}$

erzeugt wird.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }}$ die Menge der Primzahlen und

${\displaystyle \alpha \colon {\mathbb {P} }\longrightarrow \mathbb {Z} }$

eine Abbildung. Zeige, dass die Menge

${\displaystyle {}G_{\alpha }={\left\{q\in \mathbb {Q} ^{\times }\mid \operatorname {exp} _{p}^{}{\left(q\right)}\geq \alpha (p){\text{ für alle }}p\right\}}\cup \{0\}\,}$

eine Untergruppe von ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,0,+)}$ ist.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon (\mathbb {Q} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )}$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ trivial ist.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon (\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {Q} ,0,+)}$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ nicht injektiv ist.

Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon (\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {Q} ,0,+)}$

gibt.

Zeige, dass ${\displaystyle {}2^{1/5}\in \mathbb {R} }$ algebraisch über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist und bestimme das Minimalpolynom davon.

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass es einen (injektiven) Ringhomomorphismus ${\displaystyle {}L\rightarrow {\mathbb {C} }}$ gibt.

Es seien ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }}$ zwei endliche Körpererweiterungen von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ vom Grad ${\displaystyle {}d}$ bzw. ${\displaystyle {}e}$. Es seien ${\displaystyle {}d}$ und ${\displaystyle {}e}$ teilerfremd. Zeige, dass dann

${\displaystyle {}K\cap L=\mathbb {Q} \,}$

ist.

Berechne in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)}$

${\displaystyle (2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)}$

(${\displaystyle {}x}$ bezeichne die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Bestimme das Inverse von ${\displaystyle {}2x^{2}+3x-1}$ im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-5\right)}}$ (${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass jedes Element ${\displaystyle {}f\in L}$ algebraisch über ${\displaystyle {}K}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }}$, ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {R} }$, eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl ${\displaystyle {}{\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} }}$ sowie der Real- und der Imaginärteil von ${\displaystyle {}z}$ algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung

${\displaystyle {}{\mathbb {A} }\cap \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {A} }\,.}$

Bringe für die Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }}$ die Konzepte Norm und Spur mit dem Betrag und dem Realteil einer komplexen Zahl in Verbindung.

Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]=L}$. Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu ${\displaystyle {}-4+9{\sqrt {3}}}$ bezüglich der ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Basis ${\displaystyle {}1,{\sqrt {3}}}$ von ${\displaystyle {}L}$.

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element ${\displaystyle {}7x^{2}-4x+5}$ in der kubischen Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-6X^{2}+5X-8\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle L\longrightarrow \operatorname {End} _{K}\,(L),\,f\longmapsto \mu _{f},}$

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

Berechne für das Element ${\displaystyle {}2+4x+5x^{2}}$ in der Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,}$

die Norm und die Spur.

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\subseteq \mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\,}$

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis ${\displaystyle {}1,x}$ sowie ihre Norm und ihre Spur.

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)\subseteq \mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}\,}$

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis ${\displaystyle {}1,x}$ sowie ihre Norm und ihre Spur.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ und ${\displaystyle {}a\in K}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}a}$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${\displaystyle {}F}$ ist, wenn ${\displaystyle {}F'(a)=0}$ ist, wobei ${\displaystyle {}F'}$ die formale Ableitung von ${\displaystyle {}F}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}L=K(X)}$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${\displaystyle {}K[X]}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}K\subset L}$ eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra, die außerdem ein Integritätsbereich sei. Es sei ${\displaystyle {}f\in A}$ ein über ${\displaystyle {}K}$ algebraisches Element. Es sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein normiertes Polynom mit ${\displaystyle {}P(f)=0}$. Dann ist ${\displaystyle {}P}$ das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}f}$ genau dann, wenn es irreduzibel ist.

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element ${\displaystyle {}7x^{2}+3x-8}$ in der kubischen Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+9X^{2}-2X+5\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}P=X^{n}-c\in K[X]}$ ein irreduzibles Polynom. Es sei

${\displaystyle {}f=a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,}$

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L=K[X]/(P)}$ vom Grad ${\displaystyle {}n}$. Zeige, dass die Spur von ${\displaystyle {}f}$ gleich ${\displaystyle {}na_{0}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}n}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. ${\displaystyle {}F}$ und die (formale) Ableitung ${\displaystyle {}F'}$ sind teilerfremd.
2. ${\displaystyle {}F}$ und die (formale) Ableitung ${\displaystyle {}F'}$ erzeugen das Einheitsideal.
3. ${\displaystyle {}F}$ besitzt in keinem Erweiterungskörper ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ mehrfache Nullstellen.
4. Es gibt einen Erweiterungskörper ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ derart, dass ${\displaystyle {}F}$ als Polynom in ${\displaystyle {}L[X]}$ in ${\displaystyle {}n}$ verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein irreduzibles Polynom.

a) Man gebe eine einfache Charakterisierung dafür, dass ${\displaystyle {}F}$ separabel ist.

b) Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist.

c) Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss.