Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mathl{840}{} in $\Z$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mathl{840}{} in $\Z[ { \mathrm i} ]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zur Gaußschen Zahl
\mathl{5+7 { \mathrm i}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als ein Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { u p_1^{\nu_1 } \cdots p_r^{\nu_r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {Primelementen}{}{}
$p_i$ und einer
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
$u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) }
}
{ =} { \nu_1 (p_1) + \cdots + \nu_r (p_r)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wobei die $(p_i)$ die von $p_i$ erzeugten
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
bezeichnen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} mit dem
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
zum
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
$(f)$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} ( {\mathfrak a} )
}
{ =} { \operatorname{min} { \left\{ \operatorname{div} { \left( f_i \right) } \mid i = 1 , \ldots , n \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschiedene Elemente. Zeige, dass $f$ genau dann ein Teiler von $g$ ist, wenn für die
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) }
}
{ \leq} { \operatorname{div} { \left( g \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} , {\mathfrak b}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} + {\mathfrak b}
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \cap {\mathfrak b}
}
{ =} { {\mathfrak a} {\mathfrak b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(f)
}
{ = }{ {\mathfrak p}_1 \cdots {\mathfrak p}_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass $f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${\mathfrak p}_i$ Hauptideale sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
$\neq 0$ in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit der eindeutigen Primidealzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1 } \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_1^{r_1 } \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k }
}
{ \cong} { {\mathfrak p}_1^{r_1 } \cap \ldots \cap {\mathfrak p}_k^{r_k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
$\neq 0$ in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit der eindeutigen Primidealzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1 } \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen natürlichen
\definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/ {\mathfrak a}
}
{ \cong} { R/ {\mathfrak p}_1^{r_1 } \times \cdots \times R/ {\mathfrak p}_k^{r_k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}]
}
{ = }{ \Z \oplus \Z \sqrt{-5}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ -5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte in $R$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 3
}
{ =} { (1+\sqrt{-5} )(1-\sqrt{-5})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die beteiligten Elemente
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
zu diesen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mathl{f,g \in R}{,}
\mathl{f,g \neq 0}{.} Zeige ohne Verwendung
des Bijektionssatzes,
dass die
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
$\operatorname{div} { \left( f \right) }$ und
\mathl{\operatorname{div} { \left( g \right) }}{} genau dann gleich sind, wenn $f$ und $g$
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:
Das Element $f$ ist genau dann
\definitionsverweis {prim}{}{,}
wenn der zugehörige
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} die Gestalt $1 {\mathfrak p}$ mit einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
Das Element $f$ ist genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
wenn
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren $\neq 0$ ist.
}
{} {}