Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(11)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(13)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(23)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde
\definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} in den
\definitionsverweis {Restklassenkörpern}{}{}
\mathl{\Z/(13)}{,}
\mathl{\Z/(17)}{} und $\Z/(19)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in der Einheitengruppe
\mathl{{ \left( \Z/(17) \right) }^{\times}}{} zu jeder möglichen Ordnung $k$ ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ { \left( \Z/(17) \right) }^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das die Ordnung $k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq} { { \left( \Z/(17) \right) }^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
an, die aus vier Elementen besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathl{\Z/(p)}{} der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.} Zeige, dass das Produkt von zwei
\definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} niemals primitiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in ${\mathbb C}$ und die Gruppe
\mathl{\Z/( n )}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen
Lemma 5.9,
dass also der kanonische Homomorphismus
\mathl{(\Z/(p^r))^\times \rightarrow (\Z/(p))^\times}{} surjektiv ist ($p$ Primzahl).
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \Z/( 5 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein Urbild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \Z/(25)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $v$, das in $\Z/(25)$ nicht primitiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdreiabc{Finde ein primitives Element in $\Z/( 3 )$, in $\Z/( 9 )$ und in $\Z/(27)$. }{Finde eine ganze Zahl, die in $\Z/( 3 )$ primitiv ist, aber nicht in $\Z/( 9 )$. }{Zeige, dass jede ganze Zahl, die in $\Z/( 9 )$ primitiv ist, auch in $\Z/(27)$ primitiv ist. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle primitiven Elemente von
\mathl{{\mathbb Z}/(27)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung
\maabbdisp {} { { \left( \Z/(p^r) \right) }^{\times} } { { \left( \Z/(p^{r-1} ) \right) }^{\times}
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Wir betrachten den kanonischen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/(p^2) } { \Z/( p )
} {}
und den zugehörigen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { { \left( \Z/(p^2) \right) }^{\times} } { { \left( \Z/( p ) \right) }^{\times}
} {}
der
\definitionsverweis {Einheitengruppen}{}{.}
Es sei $v$ eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{}
von
\mathl{\Z/( p )}{.} Zeige, dass unter den Urbildern von $v$ in
\mathl{\Z/(p^2)}{} ein Element keine primitive Einheit von
\mathl{\Z/(p^2)}{} ist, und $p-1$ Elemente primitive Einheiten sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \geq }{ s
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Wir betrachten den kanonischen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/(p^r) } { \Z/(p^s)
} {}
und den zugehörigen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { { \left( \Z/(p^r) \right) }^{\times} } { { \left( \Z/(p^s) \right) }^{\times}
} {}
der
\definitionsverweis {Einheitengruppen}{}{.}
Es sei $v$ eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{}
von
\mathl{\Z/(p^s)}{.} Zeige, dass sämtliche Urbilder von $v$ in
\mathl{\Z/(p^r)}{} primitive Einheiten von
\mathl{\Z/(p^s)}{} sind.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe bezeichnet
\mathl{{\mathbb F}_{ 121 }}{} den Körper mit $121$ Elementen. Darüber hinaus muss muss man nichts über ihn wissen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde ein primitives Element in
\mathl{\Z/(11)}{} und in
\mathl{\Z/(121)}{.} Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in
\mathl{\Z/(121)}{} an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in
\mathl{{\mathbb F}_{121}}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$. \aufzaehlungvierabc{Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring \zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.} }{Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$? }{Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung. }{Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{}
$\varphi$ für natürliche Zahlen $n,m$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi ( \operatorname{ggT} ( m ,n) )} \cdot {\varphi (
\operatorname{kgV} ( m ,n) )}
}
{ =} { {\varphi ( n )} \cdot {\varphi ( m )}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\varphi ( n )}$ die
\definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.} Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi ( n )}
}
{ \geq} { { \frac{ \sqrt{n} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
In den nächsten Aufgaben werden die folgenden Begriffe verwendet.
Ein Element $a$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für eine natürliche Zahl $n$ ist.
Ein Element $e$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
heißt \definitionswort {idempotent}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e^2
}
{ = }{ e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$\Z/(p^n )$ nur die beiden trivialen
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{}
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
Elemente, die
\definitionsverweis {idempotenten}{}{}
Elemente und die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von
\mathl{{\mathbb Z}/(60)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzweiabc{Finde die Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \{0,1 , \ldots , 9 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
}{Finde die Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \{0,1 , \ldots , 99 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {nilpotente Elemente}{}{.}
Zeige, dass dann die Summe $f+g$ ebenfalls nilpotent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $f$ sowohl
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
als auch
\definitionsverweis {idempotent}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.}
Zeige, dass $1+f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdreiabc{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} von $K$ nicht \definitionsverweis {zyklisch}{}{} unendlich ist. }{Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} dessen \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist. }{Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist. }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise die \stichwort {eulersche Formel} {} für die
\definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{,}
das ist die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi ( n )}
}
{ =} { n \cdot \prod_{ p{{|}} n,\ p \text{ prim} } { \left( 1-{ \frac{ 1 }{ p } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
Elemente, die
\definitionsverweis {idempotenten
}{}{}
Elemente und die
\definitionsverweis {Einheiten
}{}{}
in
\mathl{{\mathbb Z}/(72)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass für natürliche Zahlen $k$ und $n$ mit
\mathl{k \,{{|}} \, n}{} der kanonische Homomorphismus
\maabbdisp {} { { \left( \Z/( n ) \right) } ^{\times} } { { \left( \Z/( k ) \right) } ^{\times}
} {}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler $k$ von $n$ mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} { \Z/( n ) } { \Z/( k ) } {} gilt, dass $a$ in $\Z/( n )$ genau dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn $\varphi(a)$ in $\Z/( k )$ eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \Z/( 7 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein Urbild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \Z/(49)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $v$, das in $\Z/(49)$ nicht primitiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichne $\nu_p(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.
\aufzaehlungvierabc{Zeige: die Abbildung
\maabb {\nu_p} { \Z \setminus \{0\} } { \N
} {}
ist surjektiv.
}{Zeige: es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu_p(nm)
}
{ = }{ \nu_p (n)+ \nu_p(m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Finde eine Fortsetzung
\maabb {\nu_p} { \Q \setminus \{0\} } { \Z
} {}
der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist
\zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \Q^{\times}
}
{ = }{ \Q \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Multiplikation und $\Z$ mit der Addition versehen ist} {} {.}
}{Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.
}
}
{} {}