Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 6

Man gebe für die Einheitengruppe ${\displaystyle {}({\mathbb {Z} }/(16))^{\times }}$ explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.

Welche Ziffern treten im Dezimalsystem als Endziffern von Quadratzahlen auf?

Bestimme sämtliche quadratische Reste modulo der Primzahlen ${\displaystyle {}<20}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl mit ${\displaystyle {}p=1\mod 4}$. Zeige unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass ${\displaystyle {}{\frac {p-1}{2}}!}$ eine Quadratwurzel von ${\displaystyle {}-1}$ ist.

Finde Quadratwurzeln für ${\displaystyle {}2}$ modulo ${\displaystyle {}p}$ für alle Primzahlen ${\displaystyle {}p}$ mit ${\displaystyle {}p=\pm 1\mod 8}$ und ${\displaystyle {}p\leq 32}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungerade Primzahl. Zeige, dass eine primitive Einheit von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ nie ein quadratischer Rest ist. Bestimme für die Primzahlen ${\displaystyle {}\leq 20}$, ob darin jeder nichtquadratische Rest primitiv ist.

Finde die kleinste Primzahl ${\displaystyle {}p}$ derart, dass es in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ ein Element ${\displaystyle {}a}$ gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich ${\displaystyle {}-1}$ ist.

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(31)}$?

Wie viele Elemente besitzt ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(31)}$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${\displaystyle {}x}$ ein primitives Element von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(31)}$. Liste explizit alle Elemente ${\displaystyle {}x^{i}}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Bestimme die Quadrate in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(35)}$.

1. Finde die kleinste Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl ${\displaystyle {}k<n}$ gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo ${\displaystyle {}n}$.
2. Finde die kleinste Primzahl ${\displaystyle {}p}$ mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl ${\displaystyle {}k<p}$ gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo ${\displaystyle {}p}$.
3. Finde die größte Primzahl ${\displaystyle {}p}$ mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo ${\displaystyle {}p}$ die Quadratzahlen ${\displaystyle {}k<p}$ sind.
4. Untersuche

   ${\displaystyle {}n=8,16,32\,}$

   in Hinblick auf die Eigenschaft, ob es neben den Quadraten noch weitere Quadratreste modulo ${\displaystyle {}n}$ gibt.

5. Finde die größte (?) Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo ${\displaystyle {}n}$ die Quadratzahlen ${\displaystyle {}k<n}$ sind.

Bestätige Satz 6.6 für ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(25)}$.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl derart, dass ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }}$ zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich ${\displaystyle {}\varphi (\varphi (n))}$ ist, wobei ${\displaystyle {}\varphi }$ die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }}$ nicht zyklisch ist?

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}e\in \mathbb {N} }$. Zeige, dass das Potenzieren

${\displaystyle {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\,x\longmapsto x^{e},}$

genau dann eine Bijektion ist, wenn ${\displaystyle {}e}$ und ${\displaystyle {}p-1}$ teilerfremd sind.

Bestätige Satz 6.6 für ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(27)}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}=\mathbb {Z} /(p)}$ der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe

${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}[{\mathrm {i} }]={\mathbb {F} }_{p}\oplus {\mathbb {F} }_{p}{\mathrm {i} }={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid a,b\in {\mathbb {F} }_{p}\right\}}\,}$

in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche ${\displaystyle {}p}$ diese Konstruktion einen Körper liefert.