Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $n$ eine ungerade Zahl. Zeige, dass es in
\mathl{\Z/( n )}{} maximal
\mathl{{ \frac{ n+1 }{ 2 } }}{} Quadratreste gibt. Wie sieht dies bei $n$ gerade aus?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die Quadratrestgruppe
\mathdisp {\Q^\times / \Q^{\times 2}} { , }
wobei
\mathl{\Q^{\times 2}}{} die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \Q^\times / \Q^{\times 2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen Repräsentanten aus $\Z$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Anzahl von $K$ ungerade ist, und dass es in $K$ genau
\mathl{{ \frac{ { \# \left( K \right) } +1 }{ 2 } }}{} Quadrate gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und sei $k$ eine zu $p$ teilerfremde natürliche Zahl. Es sei
\maabbeledisp {\pi_k} { { \left( \Z/( p ) \right) }^{\times} } { { \left( \Z/( p ) \right) }^{\times}
} { x } { kx
} {,}
die zu $k$ gehörende
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf der Einheitengruppe
\mathl{{ \left( \Z/( p ) \right) }^{\times}}{} und
\mathl{\operatorname{sgn}( \pi_k )}{} das
\definitionsverweis {Signum}{}{}
dieser Permutation. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ k }{ p }\right)
}
{ =} { \operatorname{sgn}( \pi_k )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 13
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vielfachen
\mathl{ik \mod 13}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , 6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-6$ und $6$. Berechne damit die Vorzeichen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon_i
}
{ = }{ \epsilon_i(3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bestätige
das Gaußsche Vorzeichenlemma
an diesem Beispiel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 17
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vielfachen
\mathl{ik \mod 17}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , 8
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-8$ und $8$. Berechne damit die Vorzeichen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon_i
}
{ = }{ \epsilon_i(5)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bestätige
das Gaußsche Vorzeichenlemma
an diesem Beispiel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie viele Lösungen hat die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^5
}
{ =} { a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Z/(19)}{} für ein gegebenes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \Z/(19)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise mit Hilfe des Gaußschen Vorzeichenlemmas eine Modulobedingung für die ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $3$ ein Quadrat modulo $p$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere, für welche Primzahlen $p$ die Zahl $-2$ ein \definitionsverweis {Quadratrest}{}{} modulo $p$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die Lösungen der Kongruenz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6x^2+ 4x+1
}
{ =} { 0 \mod 35
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{7 (1+1+1+4)}
{
Für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ bezeichnet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K^{\times 2}
}
{ \subseteq }{ K^\times
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathdisp {K^\times/ K^{\times 2}} { . }
\aufzaehlungvier{ $K$ ist ein endlicher Körper.
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Eulersche Kriterium für beliebige Potenzreste.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei $e$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ { \left( \Z/( p ) \right) }^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine $e$-te Wurzel besitzt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k^{\frac{p-1}{e} }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 23
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 8
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vielfachen
\mathl{ik \mod 23}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , 11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-11$ und $11$. Berechne damit die Vorzeichen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon_i
}
{ = }{ \epsilon_i(8)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bestätige
das Gaußsche Vorzeichenlemma
an diesem Beispiel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise mit Hilfe des Gaußschen Vorzeichenlemmas eine Modulobedingung für die ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $5$ ein Quadrat modulo $p$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde die Lösungen der Kongruenz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x^2+ 5x+4
}
{ =} { 0 \mod 91
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass im Restklassenring $\Z/( n )$ die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente $a,b$ genau dann
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a)
}
{ = }{ (b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von $n,a$ und $b$ aufbaut.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe setzt eine gewisse Routine im Umgang mit kommutativen Ringen voraus.
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei Elementen $a$ und $b$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a)
}
{ = }{(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, dass aber $a$ und $b$ nicht
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.
}
{} {}