Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 17
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Ausdruck
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(k,p)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^ \frac{p-1}{2} \left \lfloor \frac{ki}{p} \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne damit
\mathl{\left( \frac{ k }{ p }\right)}{} mit Hilfe von
Lemma 8.1.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob $17$ ein quadratischer Rest modulo $19$ ist, oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob $23$ ein quadratischer Rest modulo $73$ ist, oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob $50$ ein quadratischer Rest modulo $83$ ist, oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 563 }{ 1231 }\right)} { . }
Bemerkung: $563$ und $1231$ sind Primzahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 2333 }{ 3673 }\right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 1489 }{ 2437 }\right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass $-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{ 0,1 \mod 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $7$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.
Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $n$ eine ungerade natürliche Zahl und sei $k$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl, die modulo $n$ ein Quadratrest ist. Zeige, dass für das
\definitionsverweis {Jacobi-Symbol}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ k }{ n }\right)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel an, wo das \definitionsverweis {Jacobi-Symbol}{}{} den Wert $1$ hat, aber kein \definitionsverweis {Quadratrest}{}{} vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^{\frac{n-1}{2} }
}
{ \neq} { \left( \frac{ a }{ n }\right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Z/( n )$ gilt.
\aufzaehlungzweiabc{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 49
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 75
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige für eine positive ungerade Zahl $n$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ -1 }{ n }\right)
}
{ =} { (-1)^{(n-1)/2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die Menge $M$ der Reste modulo $40$ mit der Eigenschaft, dass für jede ungerade Primzahl $p$ gilt: $10$ ist ein Quadratrest modulo $p$ genau dann, wenn
\mathl{p \mod 40}{} zu $M$ gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Finde eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ mit der Eigenschaft, dass alle Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \leq }{ 10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Quadratreste}{}{}
modulo $p$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 337 }{ 1339 }\right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige für eine positive ungerade Zahl $n$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 2 }{ n }\right)
}
{ =} { (-1)^{(n^2-1)/8}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige für zwei ungerade positive Zahlen $n$ und $m$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ m }{ n }\right) \left( \frac{ n }{ m }\right)
}
{ =} { (-1)^{\frac{n-1}{2}\frac{m-1}{2} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}