Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine Primzahl $p$ höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass eine ganze Zahl $n$ genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von $2$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ gleich $0$ oder $\geq 2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in \definitionsverweis {diesem Diagramm}{}{} die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begründung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschränke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.
}
{} {}
Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Z [ { \mathrm i} ]$ die Primfaktorzerlegung von $8- { \mathrm i}$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ die Restklassendarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ \cong} { \R[X]/ (X^2+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen $\Z[ { \mathrm i} ]$ die Restklassendarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z[{ \mathrm i}]
}
{ \cong} { \Z[X]/ (X^2+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z[{ \mathrm i} ]/(n)}{} genau $n^2$ Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ R/{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
welches ${\mathfrak a}$ enthält, sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I^\prime
}
{ = }{ I R/{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zugehörige Ideal in $S$. Zeige, dass es eine kanonische
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R /I
}
{ \cong} { S/I^\prime
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { R/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme mit Hilfe von
Bemerkung 9.4
eine Quadratwurzel von $-1$ in
\mathl{\Z/(41)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichne $r(n)$ die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von zwei Quadratzahlen darzustellen, d.h. $r(n)$ ist die Anzahl der $2$-Tupel
\mathbeddisp {(x_1,x_2) \in \Z^2} {mit}
{x_1^2+x_2^2=n} {}
{} {} {} {.}
Beweise die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r(2n)
}
{ =} { r(n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Zeige, dass die vorstehende Aussage nicht gilt, wenn man nur Lösungen in $\N^2$ betrachtet.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichne $r(n)$ die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. $r(n)$ ist die Anzahl der $4$-Tupel
\mathbeddisp {(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \Z^4} {mit}
{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n} {}
{} {} {} {.}
Es sei $u$ eine ungerade positive Zahl. Beweise die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r(2u)
}
{ =} { 3r(u)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Zeige, dass die vorstehende Aussage nicht gilt, wenn man nur Lösungen in $\N^4$ betrachtet.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl, die modulo $8$ den Rest $7$ besitzt. Zeige, dass $n$ nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \leq }{ 30
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \leq }{ 10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, d.h. man bestimme die Anzahl der $4$-Tupel
\mathbeddisp {(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \Z^4} {mit}
{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für die Zahlen $n$ zwischen
\mathl{155}{} und
\mathl{159}{,} ob $n$ die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle möglichen Darstellungen an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Finde für alle Zehnerpotenzen
\mathl{\geq 10}{} eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung der Gaußschen Zahl
\mathl{39+52 { \mathrm i}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung $r$ Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt $n$ maximal?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige: In
\mathl{\Z/( p )}{,} wobei $p$ eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ x^2 + y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $k$ ein ungerader Teiler von $x$. Zeige: Dann ist $k$ ein Quadratrest modulo $p$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass man die
\mathl{239}{} als eine Summe von neun Kubikzahlen darstellen kann, aber nicht als eine Summe von acht Kubikzahlen.
}
{} {}