Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Definitionsabfrage

Ein Monoid ist eine Menge ${\displaystyle {}M}$ zusammen mit einer Verknüpfung

${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M}$

und einem ausgezeichneten Element ${\displaystyle {}e\in M}$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

   ${\displaystyle {}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,}$

   für alle ${\displaystyle {}x,y,z\in M}$.

2. ${\displaystyle {}e}$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

   ${\displaystyle {}x\circ e=x=e\circ x\,}$

   für alle ${\displaystyle {}x\in M}$.

Ein Monoid ${\displaystyle {}(G,e,\circ )}$ heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ${\displaystyle {}x\in G}$ ein ${\displaystyle {}y\in G}$ mit ${\displaystyle {}x\circ y=e=y\circ x}$ gibt.

Eine Gruppe ${\displaystyle {}(G,e,\circ )}$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also ${\displaystyle {}x\circ y=y\circ x}$ für alle ${\displaystyle {}x,y\in G}$ gilt.

Eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Ein Ring ${\displaystyle {}R}$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${\displaystyle {}+}$ und ${\displaystyle {}\cdot }$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. ${\displaystyle {}(R,+,0)}$ ist eine abelsche Gruppe.
2. ${\displaystyle {}(R,\cdot ,1)}$ ist ein Monoid.
3. Es gelten die Distributivgesetze, also ${\displaystyle {}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$ und ${\displaystyle {}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)}$ für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in R}$.

Ein Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, und ${\displaystyle {}a,b}$ Elemente in ${\displaystyle {}R}$. Man sagt, dass ${\displaystyle {}a}$ das Element ${\displaystyle {}b}$ teilt (oder dass ${\displaystyle {}b}$ von ${\displaystyle {}a}$ geteilt wird, oder dass ${\displaystyle {}b}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}a}$ ist), wenn es ein ${\displaystyle {}c\in R}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}b=c\cdot a}$ ist. Man schreibt dafür auch ${\displaystyle {}a{|}b}$.

Ein Element ${\displaystyle {}u}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${\displaystyle {}v\in R}$ mit ${\displaystyle {}uv=1}$ gibt.

Zwei Elemente ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ eines kommutativen Ringes ${\displaystyle {}R}$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit ${\displaystyle {}u\in R}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}a=ub}$ ist.

Eine Nichteinheit ${\displaystyle {}p}$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung ${\displaystyle {}p=ab}$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Eine Nichteinheit ${\displaystyle {}p\neq 0}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ${\displaystyle {}p}$ ein Produkt ${\displaystyle {}ab}$ mit ${\displaystyle {}a,b\in R}$, so teilt ${\displaystyle {}p}$ einen der Faktoren.

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${\displaystyle {}0}$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Ein kommutativer Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt Körper, wenn ${\displaystyle {}R\neq 0}$ ist und wenn jedes von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Eine Teilmenge ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ eines kommutativen Ringes ${\displaystyle {}R}$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${\displaystyle {}0\in {\mathfrak {a}}}$.
2. Für alle ${\displaystyle {}a,b\in {\mathfrak {a}}}$ ist auch ${\displaystyle {}a+b\in {\mathfrak {a}}}$.
3. Für alle ${\displaystyle {}a\in {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {}r\in R}$ ist auch ${\displaystyle {}ra\in {\mathfrak {a}}}$.

Zu einer Familie von Elementen ${\displaystyle {}a_{j}\in R}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ bezeichnet ${\displaystyle {}(a_{j}:j\in J)}$ das von den ${\displaystyle {}a_{j}}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

${\displaystyle \sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},}$

wobei ${\displaystyle {}J_{0}\subseteq J}$ eine endliche Teilmenge und ${\displaystyle {}r_{j}\in R}$ ist.

Ein Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ der Form

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,}$

heißt Hauptideal.

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R}$. Dann heißt ein Element ${\displaystyle {}t\in R}$ gemeinsamer Teiler der ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{k}}$, wenn ${\displaystyle {}t}$ jedes ${\displaystyle {}a_{i}}$ teilt (${\displaystyle {}i=1,\ldots ,k}$).

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R}$. Ein Element ${\displaystyle {}g\in R}$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{k}}$, wenn ${\displaystyle {}g}$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${\displaystyle {}t}$ dieses ${\displaystyle {}g}$ teilt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente ${\displaystyle {}a,b\in R}$ teilerfremd sind, wenn jedes Element ${\displaystyle {}c\in R}$, das sowohl ${\displaystyle {}a}$ als auch ${\displaystyle {}b}$ teilt, eine Einheit ist.

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich ${\displaystyle {}R}$, für den eine Abbildung ${\displaystyle {}\delta \colon R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N} }$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente ${\displaystyle {}a,b}$ mit ${\displaystyle {}b\neq 0}$ gibt es ${\displaystyle {}q,r\in R}$ mit

${\displaystyle a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).}$

Es seien Elemente ${\displaystyle {}a,b}$ (mit ${\displaystyle {}b\neq 0}$) eines euklidischen Bereichs ${\displaystyle {}R}$ mit euklidischer Funktion ${\displaystyle {}\delta }$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen ${\displaystyle {}r_{0}=a}$ und ${\displaystyle {}r_{1}=b}$ und die mittels der Division mit Rest

${\displaystyle {}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,}$

rekursiv bestimmte Folge ${\displaystyle {}r_{i}}$ die Folge der euklidischen Reste.

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. Jedes irreduzible Element in ${\displaystyle {}R}$ ist prim.
2. Jedes Element ${\displaystyle {}a\in R}$, ${\displaystyle {}a\neq 0}$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.

Zu einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ bezeichnet ${\displaystyle {}{\varphi (n)}}$ die Anzahl der Elemente von ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }}$. Man nennt ${\displaystyle {}{\varphi (n)}}$ die Eulersche Funktion.

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Es seien ${\displaystyle {}R_{1},\ldots ,R_{n}}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

${\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{n},}$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${\displaystyle {}R_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$.

Der Exponent ${\displaystyle {}\exp {\left(G\right)}}$ einer endlichen Gruppe ${\displaystyle {}G}$ ist die kleinste positive Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}x^{n}=1}$ für alle ${\displaystyle {}x\in G}$ ist.

Eine Einheit ${\displaystyle {}u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }}$ heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.

Eine ganze Zahl ${\displaystyle {}k}$ heißt quadratischer Rest modulo ${\displaystyle {}n}$, wenn es eine Zahl ${\displaystyle {}x}$ mit

${\displaystyle {}x^{2}=k\mod n\,}$

gibt. Im anderen Fall heißt ${\displaystyle {}k}$ ein nichtquadratischer Rest modulo ${\displaystyle {}n}$.

Für eine ungerade Primzahl ${\displaystyle {}p}$ und eine zu ${\displaystyle {}p}$ teilerfremde Zahl ${\displaystyle {}k\in \mathbb {Z} }$ definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben ${\displaystyle {}\left({\frac {k}{p}}\right)}$ (sprich „ ${\displaystyle {}k}$ nach ${\displaystyle {}p}$“), durch

${\displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,}$

Für eine ungerade Zahl ${\displaystyle {}n}$ und eine ganze Zahl ${\displaystyle {}k}$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben ${\displaystyle {}\left({\frac {k}{n}}\right)}$ (${\displaystyle {}k}$ nach ${\displaystyle {}n}$), wie folgt. Es sei ${\displaystyle {}n=p_{1}\cdots p_{r}}$ die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}n}$. Dann setzt man

${\displaystyle {}\left({\frac {k}{n}}\right):=\left({\frac {k}{p_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {k}{p_{r}}}\right)\,.}$

Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung ${\displaystyle {}(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}}$ der diophantischen Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,.}$

Es heißt primitiv, wenn ${\displaystyle {}x,y,z}$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Die Riemannsche ${\displaystyle {}\zeta }$-Funktion ist für ${\displaystyle {}s\in {\mathbb {C} }}$ mit Realteil ${\displaystyle {}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1}$ durch

${\displaystyle {}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,}$

definiert.

Die für ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ definierte Funktion

${\displaystyle x\longmapsto \pi (x):={\#\left({\left\{p\leq x\mid p{\text{ Primzahl}}\right\}}\right)}}$

heißt Primzahlfunktion.

Die erste Tschebyschow-Funktion ${\displaystyle {}\vartheta (x)}$ ist durch

${\displaystyle {}\vartheta (x)=\sum _{p\leq x,p{\text{ prim}}}\ln(p)\,}$

gegeben.

Eine Primzahl der Form ${\displaystyle {}2^{n}-1}$ heißt Mersennesche Primzahl.

Zu einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ bezeichnet man die Summe aller natürlichen Teiler von ${\displaystyle {}n}$ als ${\displaystyle {}\sigma (n)}$, also

${\displaystyle {}\sigma (n)=\sum _{t{|}n}t\,.}$

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von ${\displaystyle {}n}$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ heißt defizient, wenn die Summe der Teiler kleiner als ${\displaystyle {}2n}$ ist.

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ heißt abundant, wenn die Summe der Teiler größer als ${\displaystyle {}2n}$ ist.

Eine natürliche abundante Zahl heißt sonderbar, wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.

Zwei verschiedene natürliche Zahlen ${\displaystyle {}m}$ und ${\displaystyle {}n}$ heißen befreundet, wenn ${\displaystyle {}m}$ gleich der Summe der echten Teiler von ${\displaystyle {}n}$ ist und umgekehrt.

Eine zahlentheoretische Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen ${\displaystyle {}m,n}$ stets

${\displaystyle {}f(mn)=f(m)f(n)\,}$

gilt.

Zu zahlentheoretischen Funktionen ${\displaystyle {}f,g\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }}$ heißt die durch

${\displaystyle {}(f*g)(n):=\sum _{d{\text{ teilt }}n}f(d)g{\left({\frac {n}{d}}\right)}\,}$

definierte Funktion die Faltung von ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$.

Die zahlentheoretische Funktion ${\displaystyle {}\mu \colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }}$, die durch

${\displaystyle {}\mu (n):={\begin{cases}0,\,{\text{falls in der Primfaktorzerlegung von }}n{\text{ manche Primfaktoren mehrfach auftreten}},\\(-1)^{k},\,{\text{ falls }}n=p_{1}\cdots p_{k}{\text{ mit verschiedenen Primfaktoren}}\,.\end{cases}}\,}$

gegeben ist, heißt Möbius-Funktion.

Eine Primzahl der Form ${\displaystyle {}2^{s}+1}$, wobei ${\displaystyle {}s}$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Eine Zahl der Form ${\displaystyle {}2^{2^{r}}+1}$, wobei ${\displaystyle {}r}$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.

Eine Primzahl ${\displaystyle {}p}$ mit der Eigenschaft, dass auch ${\displaystyle {}2p+1}$ eine Primzahl ist, heißt Sophie-Germain-Primzahl.

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ heißt quasiprim zur Basis ${\displaystyle {}a}$, wenn ${\displaystyle {}a^{n-1}=1}$ modulo ${\displaystyle {}n}$ gilt.

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu ${\displaystyle {}n}$ teilerfremde ganze Zahl ${\displaystyle {}a}$

${\displaystyle {}a^{n-1}=1\mod n\,}$

gilt, heißt Carmichael-Zahl.

Zu einem Integritätsbereich ${\displaystyle {}R}$ ist der Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q(R)}$ als die Menge der formalen Brüche

${\displaystyle {}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,}$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}A}$ kommutative Ringe und sei ${\displaystyle {}R\rightarrow A}$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Algebra.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}K}$- Algebra. Es sei ${\displaystyle {}f\in A}$ ein Element. Dann heißt ${\displaystyle {}f}$ algebraisch über ${\displaystyle {}K}$, wenn es ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ mit ${\displaystyle {}P(f)=0}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}K}$- Algebra. Es sei ${\displaystyle {}f\in A}$ ein über ${\displaystyle {}K}$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ mit ${\displaystyle {}P(f)=0}$, welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}f}$.

Eine komplexe Zahl ${\displaystyle {}z}$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Es sei ${\displaystyle {}L}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ ein Unterkörper von ${\displaystyle {}L}$. Dann heißt ${\displaystyle {}L}$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${\displaystyle {}K}$ und die Inklusion ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ heißt eine Körpererweiterung.

Eine Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ heißt endlich, wenn ${\displaystyle {}L}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${\displaystyle {}K}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${\displaystyle {}K}$- Vektorraumdimension von ${\displaystyle {}L}$ den Grad der Körpererweiterung.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${\displaystyle {}f\in L}$ nennt man die Determinante der ${\displaystyle {}K}$- linearen Abbildung

${\displaystyle \mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,}$

die Norm von ${\displaystyle {}f}$. Sie wird mit ${\displaystyle {}N(f)}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${\displaystyle {}f\in L}$ nennt man die Spur der ${\displaystyle {}K}$- linearen Abbildung

${\displaystyle \mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,}$

die Spur von ${\displaystyle {}f}$. Sie wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element ${\displaystyle {}x\in L}$ das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}n}$ und seien ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ Elemente in ${\displaystyle {}L}$. Dann wird die Diskriminante von ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ durch

${\displaystyle {}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,}$

definiert.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M=(M,+,0)}$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${\displaystyle {}M}$ einen ${\displaystyle {}R}$-Modul, wenn eine Operation

${\displaystyle R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,}$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien ${\displaystyle {}r,s\in R}$ und ${\displaystyle {}u,v\in M}$ beliebig):

1. ${\displaystyle {}r(su)=(rs)u}$,
2. ${\displaystyle {}r(u+v)=(ru)+(rv)}$,
3. ${\displaystyle {}(r+s)u=(ru)+(su)}$,
4. ${\displaystyle {}1u=u}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$- Modul. Eine Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq M}$ heißt ${\displaystyle {}R}$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${\displaystyle {}(M,0,+)}$ ist und wenn für jedes ${\displaystyle {}u\in U}$ und ${\displaystyle {}r\in R}$ auch ${\displaystyle {}ru\in U}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$- Modul. Eine Familie ${\displaystyle {}v_{i}\in M}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, heißt Erzeugendensystem für ${\displaystyle {}M}$, wenn es für jedes Element ${\displaystyle {}v\in M}$ eine Darstellung

${\displaystyle {}v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,}$

gibt, wobei ${\displaystyle {}J\subseteq I}$ endlich ist und ${\displaystyle {}r_{i}\in R}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$- Modul. Der Modul ${\displaystyle {}M}$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Ein Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt Primideal, wenn ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq R}$ ist und wenn für ${\displaystyle {}r,s\in R}$ mit ${\displaystyle {}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}}$ folgt: ${\displaystyle {}r\in {\mathfrak {p}}}$ oder ${\displaystyle {}s\in {\mathfrak {p}}}$.

Ein Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt maximales Ideal, wenn ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}\neq R}$ ist und wenn es zwischen ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ und ${\displaystyle {}R}$ kein weiteres Ideal gibt.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und sei ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${\displaystyle {}x\in S}$ heißt eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,}$

wobei die Koeffizienten ${\displaystyle r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1}$, zu ${\displaystyle {}R}$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für ${\displaystyle {}x}$.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine Ringerweiterung. Ein Element ${\displaystyle {}x\in S}$ heißt ganz (über ${\displaystyle {}R}$), wenn ${\displaystyle {}x}$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus ${\displaystyle {}R}$ erfüllt.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente ${\displaystyle {}x\in S}$, die ganz über ${\displaystyle {}R}$ sind, den ganzen Abschluss von ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}S}$.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und sei ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine Ringerweiterung. Dann heißt ${\displaystyle {}S}$ ganz über ${\displaystyle {}R}$, wenn jedes Element ${\displaystyle {}x\in S}$ ganz über ${\displaystyle {}R}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine Ringerweiterung. Man nennt ${\displaystyle {}R}$ ganz-abgeschlossen in ${\displaystyle {}S}$, wenn der ganze Abschluss von ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}S}$ gleich ${\displaystyle {}R}$ ist.

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und ${\displaystyle {}Q(R)}$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}Q(R)}$ die Normalisierung von ${\displaystyle {}R}$.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ in ${\displaystyle {}L}$ den Ring der ganzen Zahlen in ${\displaystyle {}L}$. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.

Ein kommutativer Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Einen Integritätsbereich ${\displaystyle {}R}$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene Primideal darin maximal ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$. Dann nennt man die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von ${\displaystyle {}R}$ die Diskriminante von ${\displaystyle {}R}$ (und die Diskriminante von ${\displaystyle {}L}$).

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}e\in \mathbb {N} _{+}}$. Der aufgrund von Satz 19.7 bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit ${\displaystyle {}q=p^{e}}$ Elementen wird mit

${\displaystyle {\mathbb {F} }_{q}}$

bezeichnet.

Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ vom Grad ${\displaystyle {}2}$.

Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ quadratfrei und sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt ${\displaystyle {}A_{D}}$ reell-quadratisch, wenn ${\displaystyle {}D}$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn ${\displaystyle {}D}$ negativ ist.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ eine quadratfreie Zahl und sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]}$ die zugehörige quadratische Körpererweiterung und ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]}$, auf ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$ und auf ${\displaystyle {}A_{D}}$)

${\displaystyle a+b{\sqrt {D}}\longmapsto a-b{\sqrt {D}}}$

als Konjugation bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ quadratfrei und ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Ideal in ${\displaystyle {}A_{D}}$. Dann nennt man die (endliche) Anzahl des Restklassenringes ${\displaystyle {}A_{D}/{\mathfrak {a}}}$ die Norm von ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$. Sie wird mit

${\displaystyle N({\mathfrak {a}})}$

bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

1. ${\displaystyle {}1\in S}$,
2. Wenn ${\displaystyle {}f,g\in S}$, dann ist auch ${\displaystyle {}fg\in S}$,

gelten.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und sei ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein multiplikatives System, ${\displaystyle {}0\notin S}$. Dann nennt man den Unterring

${\displaystyle {}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,}$

die Nenneraufnahme zu ${\displaystyle {}S}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an ${\displaystyle {}S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ die Lokalisierung von ${\displaystyle {}R}$ an ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$. Man schreibt dafür ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$. Es ist also

${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\subseteq Q(R)\,.}$

Ein kommutativer Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt lokal, wenn ${\displaystyle {}R}$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Ein diskreter Bewertungsring ${\displaystyle {}R}$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${\displaystyle {}R}$ gibt.

Zu einem Element ${\displaystyle f\in R,\,f\neq 0}$, in einem diskreten Bewertungsring ${\displaystyle {}R}$ mit Primelement ${\displaystyle {}p}$ heißt die Zahl ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle {}f=up^{n}}$, wobei ${\displaystyle {}u}$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${\displaystyle {}f}$. Sie wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(f)}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich und ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq 0}$ in ${\displaystyle {}R}$ die Ordnung ${\displaystyle {}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)}$ zuordnet, der durch ${\displaystyle {}f}$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}}$ bezeichnet und als formale Summe

${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,}$

geschrieben.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich, ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq 0}$ ein Primideal in ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$. Dann heißt die Ordnung ${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(f)}$ im diskreten Bewertungsring ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ die Ordnung von ${\displaystyle {}f}$ am Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ (oder an der Primstelle ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ oder in ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$). Sie wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe

${\displaystyle \sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},}$

die sich über alle Primideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq 0}$ aus ${\displaystyle {}R}$ erstreckt und wobei ${\displaystyle {}n_{\mathfrak {p}}}$ natürliche Zahlen sind mit ${\displaystyle {}n_{\mathfrak {p}}=0}$ für fast alle ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Dann nennt man den Divisor

${\displaystyle {}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,}$

mit

${\displaystyle {}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}}):=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\right)\,}$

den Divisor zum Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich und

${\displaystyle {}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,}$

ein effektiver Divisor (wobei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ durch die Menge der Primideale ${\displaystyle {}\neq 0}$ läuft). Dann nennt man

${\displaystyle {\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}}$

das Ideal zum Divisor ${\displaystyle {}D}$. Es wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {Id} (D)}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

${\displaystyle \sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},}$

die sich über alle Primideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq 0}$ aus ${\displaystyle {}R}$ erstreckt und wobei ${\displaystyle {}n_{\mathfrak {p}}}$ ganze Zahlen mit ${\displaystyle {}n_{\mathfrak {p}}=0}$ für fast alle ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ sind.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich und ${\displaystyle {}q\in Q(R)}$, ${\displaystyle {}q\neq 0}$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq 0}$ in ${\displaystyle {}R}$ die Ordnung ${\displaystyle {}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)}$ zuordnet, der durch ${\displaystyle {}q}$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(q\right)}}$ bezeichnet und als formale Summe

${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(q\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)\cdot {\mathfrak {p}}\,}$

geschrieben.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q(R)}$. Dann nennt man einen endlich erzeugten ${\displaystyle {}R}$- Untermodul ${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}}$ des ${\displaystyle {}R}$- Moduls ${\displaystyle {}Q(R)}$ ein gebrochenes Ideal.