Kurve/Explizit/Integralkurve/1/Aufgabe/Lösung

Wir bestimmen Stammfunktionen für die einzelnen Komponentenfunktionen. Eine Stammfunktion zu

${\displaystyle {}{\frac {t^{2}-1}{t}}=t-{\frac {1}{t}}\,}$

ist

${\displaystyle {\frac {1}{2}}t^{2}-\ln t,}$

eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}t\sin \left(t^{2}\right)}$ ist

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\cos \left(t^{2}\right)}$

und eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}te^{t}}$ ist

${\displaystyle te^{t}-e^{t}.}$

Deshalb besitzt ${\displaystyle {}\varphi }$ die allgemeine Gestalt

${\displaystyle {}\varphi (t)=\left({\frac {1}{2}}t^{2}-\ln t+a,\,-{\frac {1}{2}}\cos \left(t^{2}\right)+b,\,te^{t}-e^{t}+c\right)\,}$

mit Konstanten ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {R} }$. Die Bedingung

${\displaystyle {}\varphi (1)=\left(1,\,2,\,3\right)\,}$

führt auf

${\displaystyle {}\left({\frac {1}{2}}+a,\,-{\frac {1}{2}}\cos \left(1\right)+b,\,c\right)=\left(1,\,2,\,3\right)\,,}$

also ist

${\displaystyle {}a={\frac {1}{2}}\,,}$

${\displaystyle {}b=2+{\frac {1}{2}}\cos 1\,}$

und

${\displaystyle {}c=3\,.}$

Insgesamt ist also

${\displaystyle {}\varphi (t)=\left({\frac {1}{2}}t^{2}-\ln t+{\frac {1}{2}},\,-{\frac {1}{2}}\cos \left(t^{2}\right)+2+{\frac {1}{2}}\cos 1,\,te^{t}-e^{t}+3\right)\,.}$