Kurvendurchschnitt/Parabel und Kreis/Resultante/Beispiel

Es sei

${\displaystyle {}f=X^{2}+Y^{2}-1\,}$

und

${\displaystyle {}g=Y-X^{2}\,,}$

die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die Resultante (bezüglich ${\displaystyle {}Y}$) ist

${\displaystyle {}\operatorname {Res} (f,g)=\det {\begin{pmatrix}1&0&X^{2}-1\\1&-X^{2}&0\\0&1&-X^{2}\end{pmatrix}}=X^{4}-(X^{2}-1)=X^{4}-X^{2}+1\,.}$

Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$ Kurven (also der Kreis und die Parabel) in ${\displaystyle {}V(X^{4}-X^{2}+1)}$ liegt. Wenn man die Resultante bezüglich ${\displaystyle {}X}$ nimmt, so ergibt sich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,g)&=\det {\begin{pmatrix}1&0&Y^{2}-1&0\\0&1&0&Y^{2}-1\\-1&0&Y&0\\0&-1&0&Y\end{pmatrix}}\\&=Y^{2}+Y(Y^{2}-1)-(-(Y^{2}-1)Y-(Y^{2}-1)^{2})\\&=Y^{2}+Y^{3}-Y+(Y^{2}-1)Y+(Y^{2}-1)^{2}\\&=Y^{4}+2Y^{3}-Y^{2}-2Y+1.\end{aligned}}}$