Kurvenintegral

Das Kurven-, Linien-, Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis).

Den Weg, die Linie oder die Kurve, über die integriert wird, nennt man den Integrationsweg.

Wegintegrale über geschlossene Kurven werden auch als Ringintegral, Umlaufintegral^[1] oder Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol ${\displaystyle \textstyle \oint }$ geschrieben.

Gegeben ist ein Weg ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$, der von einem Intervall (z.B. interpretiert als Zeitintervall) in den Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ abbildet. ${\displaystyle \gamma (t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ gibt dabei den Ort an, an dem man sich beim Wert ${\displaystyle t\in [a,b]}$ befindet.

Dabei unterscheidet man

• zeitliches, wegabhängige Wegintegrale
• Wegintegral erster Art und
• Wegintegral zweiter Art.

Zeitliche wegabhängige Integrale kommen z.B. im Bereich des Risikomanagements zum Einsatz, wenn man auf unterschiedlichen Wegen ${\displaystyle \gamma _{n}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ zwischen einem Punkt ${\displaystyle \gamma _{n}(a)=z_{a}\in \mathbb {R} ^{n}}$ und einem Punkt ${\displaystyle \gamma _{n}(b)=z_{b}\in \mathbb {R} ^{n}}$ unterschiedlich stark einem Risiko ausgesetzt ist. Dies können z.B. eine Exposition mit schädlicher Strahlung oder mit toxischen Substanzen sein. Ein längerer Weg ${\displaystyle \gamma _{1}}$ im Vergleich zu ${\displaystyle \gamma _{2}}$ könnte dann zu einem geringeren Risiko führen.

Eine Risikofunktion ist dann z.B. einen Abbildung ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, die jedem Ort ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$ ein Risiko ${\displaystyle f(z)\in \mathbb {R} }$ zuordnet.

Sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene wegzusammenhängende Menge und ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ eine integriebare Abbildung, die jedem Ort ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$ einen Funktionswert ${\displaystyle f(z)\in \mathbb {R} }$ zuordnet. Das zeitliche wegabhängige Wegintegral über einen Weg ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$ ist dann wie folgt definiert:

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z:=\int \limits _{a}^{b}\!f(\gamma (t))\,\mathrm {d} t.}$

Selbst wenn der Anfangspunkt ${\displaystyle \gamma _{n}(a)=\gamma _{m}(a)}$ und der Endpunkt ${\displaystyle \gamma _{n}(b)=\gamma _{m}(b)}$ von verschiedenen Wegen unterschiedlichen Wegen ${\displaystyle \gamma _{n}:[a,b]\to U}$ und ${\displaystyle \gamma _{m}:[a,b]\to U}$ übereinstimmen, können sich die zeitlichen wegabhängigeb Wegintegrale unterscheiden. Die ist bei Integrationwegen z.B. in der Funktionentheorie nicht der Fall, denn dort sind für holomorphe Funktionen ${\displaystyle f}$ auf konvexen Gebieten die Wegintergrale wegunabhängig und sind nur von Anfangspunkt ${\displaystyle z_{a}=\gamma (a)}$ und Endpunkt ${\displaystyle z_{b}=\gamma (b)}$ abhängig.

Die Verwendung der Abeitung ${\displaystyle \gamma {\,}'(t)}$ in der Definition eines Wegintegrals bezieht sich auf die Substitutionsregel, die bei einer existierenden Stammfunktion ${\displaystyle F}$ von ${\displaystyle f}$ unmittelbar die Wegunabhängigkeit liefert.

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(\gamma (x))\cdot \gamma {\,}'(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{\gamma (a)}^{\gamma (b)}f(z)\,\mathrm {d} z\,=\,F(\gamma (b))-F(\gamma (a))}$

Begründen Sie, warum die obige Gleichung zur Substitutionsregel die Wegunabhängigkeit für das Wegintegral liefert. Erläutern Sie, warum ein Wegintegral, dass die aggregierten Risiken auf dem Weg ${\displaystyle \gamma }$ berechnet im Anwendungskontext in der Regel wegabhängig sein muss, d.h. mit ${\displaystyle \gamma _{1}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \gamma _{2}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \gamma _{1}(a)=\gamma _{2}(a)}$ und ${\displaystyle \gamma _{1}(b)=\gamma _{2}(b)}$ gilt nicht notwendig:

${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)\,dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)\,dz}$

Das Wegintegral einer stetigen Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

entlang eines stückweise stetig differenzierbaren Weges ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ist definiert als

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f\,\mathrm {d} s:=\int \limits _{a}^{b}\!f(\gamma (t))\cdot \|{\gamma \,}'(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t.}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\gamma \,}'}$ den Ableitung von ${\displaystyle \gamma }$ nach ${\displaystyle t}$. Dabei ist ${\displaystyle \gamma (t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle {\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ein Vektor. Der Ableitungsvektor ${\displaystyle {\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})}$ an.

Die Komponentenfunktionen ${\displaystyle \gamma _{i}:[a,b]\to \mathbb {R} }$ sind Abbildungen, für die man die Ableitung getrennt für jede Komponente mit dem Wissen aus der reellen Analysis berechnen kann.

Als differnzierbaren Weg wird zuerst ${\displaystyle \gamma }$ definiert mit

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&t&\mapsto &\gamma \left(t\right)={\begin{pmatrix}5\cdot \cos(t)\\3\cdot \sin(t)\end{pmatrix}}\end{array}}}$

Die Spur des Weges bildet eine Ellipse mit den Halbachsen 5 und 3.

Die Ableitung ${\displaystyle {\gamma }'}$ des Weges ${\displaystyle \gamma }$ ergibt sich unmittelbar aus der Ableitung der Komponentenfunktionen

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}{\gamma }':&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&t&\mapsto &{\gamma }'\left(t\right)={\begin{pmatrix}-5\cdot \sin(t)\\3\cdot \cos(t)\end{pmatrix}}\end{array}}}$

Nun sei ${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(t),\sin(t),t)\in \mathbb {R} ^{3}}$ und ${\displaystyle {\gamma \,}'(t)=(-\sin(t),\cos(t),1)\in \mathbb {R} ^{3}}$ ein Vektor. Der Ableitungsvektor ${\displaystyle {\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{3}}$ gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})}$ an.

Zeichnen Sie die Spur des Weges im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (Ellipse) und plotten Sie die Spur des Weges im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ mit CAS4Wiki-Plots.

${\displaystyle \|{\gamma \,}'(t)\|_{2}}$ gibt die euklidische Norm des Vektors ${\displaystyle {\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ an.

Die Bildmenge ${\displaystyle {\mbox{Spur}}(\gamma ):={\mathcal {C}}:=\gamma ([a,b])}$ einer stückweise glatte Kurve in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ darf man nicht mit dem Graphen eines Kurve verwechseln, der eine Teilmenge vom ${\displaystyle [a,b]\times \mathbb {R} ^{n}}$ ist.

• Ein Beispiel für eine solche Funktion ${\displaystyle f}$ ist ein Skalarfeld mit kartesischen Koordinaten.
• Ein Weg ${\displaystyle \gamma }$ kann eine Kurve ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ entweder als Ganzes oder auch nur in Abschnitten mehrfach durchlaufen.
• Für ${\displaystyle f\equiv 1}$ ergibt das Wegintegral erster Art die Länge des Weges ${\displaystyle \gamma }$.
• Der Weg ${\displaystyle \gamma }$ bildet u. a. ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ auf den Anfangspunkt der Kurve ab und ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ auf deren Endpunkt.
• ${\displaystyle t\in [a,b]}$ ist ein Element der Definitionsmenge von ${\displaystyle \gamma }$ und steht allgemein nicht für die Zeit. ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ ist das zugehörige Differential.

Das Wegintegral über ein stetiges Vektorfeld

${\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das Skalarprodukt aus ${\displaystyle \mathbf {f} \circ \gamma }$ und ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$:

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!\mathbf {f} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} :=\int \limits _{a}^{b}\!\langle \mathbf {f} (\gamma (t)),{{\gamma }\,}'(t)\rangle \,\mathrm {d} t}$

Sind ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle \eta \colon [c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}$ einfache (d. h., ${\displaystyle \gamma _{|(a,b)}}$ und ${\displaystyle \eta _{|(c,d)}}$ sind injektiv) Wege mit ${\displaystyle \gamma (a)=\eta (c)}$ und ${\displaystyle \gamma (b)=\eta (d)}$ und demselben Bild, parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung und durchlaufen sie die Kurve (bis auf Doppelpunkte) genau einmal, so stimmen die Integrale entlang ${\displaystyle \gamma }$ und ${\displaystyle \eta }$ überein. Dies rechtfertigt den Namen Kurvenintegral; ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant, kann der Weg in der Notation unterdrückt werden.

Da eine Kurve ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ das Bild eines Weges ${\displaystyle \gamma }$ ist, entsprechen die Definitionen der Kurvenintegrale im Wesentlichen den Wegintegralen.

${\displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}\!f\,\mathrm {d} s:=\int \limits _{a}^{b}\!f(\gamma (t))\cdot \|{{\gamma }\,}'(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} :=\int \limits _{a}^{b}\langle \mathbf {f} (\gamma (t)),{{\gamma }\,}'(t)\rangle \,\mathrm {d} t}$

Ein Spezialfall ist wieder die Länge der durch ${\displaystyle \gamma }$ parametrisierten Kurve ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$:

${\displaystyle \mathrm {L{\ddot {a}}nge\ von\ } {\mathcal {C}}=\int \limits _{\mathcal {C}}1\,\mathrm {d} s=\int \limits _{a}^{b}\|{\gamma \,}'(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t}$

Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck

${\displaystyle \mathrm {d} s=\|{\gamma \,}'(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t}$

heißt skalares Wegelement oder Längenelement. Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} ={\gamma \,}'(t)\,\mathrm {d} t}$

heißt vektorielles Wegelement.

Seien ${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )}$, ${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\mathbf {g} (\mathbf {x} )}$ Kurvenintegrale gleicher Art (also entweder beide erster oder beide zweiter Art), sei das Urbild der beiden Funktionen ${\displaystyle \mathbf {f} }$ und ${\displaystyle \mathbf {g} }$ von gleicher Dimension und sei ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$. Dann gelten für ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle c\in \mathbb {[} a,b]}$ die folgenden Rechenregeln:

• ${\displaystyle \alpha \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )+\beta \int \limits _{\gamma }\mathbf {g} (\mathbf {x} )=\int \limits _{\gamma }(\alpha \mathbf {f} (\mathbf {x} )+\beta \mathbf {g} (\mathbf {x} ))}$    (Linearität)

• ${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\int \limits _{\gamma |_{[a,c]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )+\int \limits _{\gamma |_{[c,b]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )}$    (Zerlegungsadditivität)

Ist ${\displaystyle \gamma }$ ein geschlossener Weg, so schreibt man

statt ${\displaystyle \displaystyle \int \limits _{\gamma }}$ auch ${\displaystyle \displaystyle \oint \limits _{\gamma }}$

und analog für geschlossene Kurven ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

statt ${\displaystyle \displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}}$ auch ${\displaystyle \displaystyle \oint \limits _{\mathcal {C}}}$.

Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass ${\displaystyle \gamma }$ geschlossen ist. Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation.

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ der Graph einer Funktion ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$, so wird diese Kurve durch den Weg

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,f(t))}$

parametrisiert. Wegen

${\displaystyle \|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}={\sqrt {1+f'(t)^{2}}}}$

ist die Länge der Kurve gleich

${\displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}\mathrm {d} s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

• Eine Ellipse mit großer Halbachse ${\displaystyle a}$ und kleiner Halbachse ${\displaystyle b}$ wird durch ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ für ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ parametrisiert. Ihr Umfang ist also

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}t}}\;\mathrm {d} t}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \varepsilon }$ die numerische Exzentrizität ${\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$ der Ellipse. Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als elliptisches Integral bezeichnet.

Ist ein Vektorfeld ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ein Gradientenfeld, d. h., ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ist der Gradient eines skalaren Feldes ${\displaystyle V}$, mit

${\displaystyle \mathbf {\nabla } V=\mathbf {F} }$,

so gilt für die Ableitung der Verkettung von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}V(\mathbf {r} (t))=\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)}$,

was gerade dem Integranden des Wegintegrals über ${\displaystyle \mathbf {F} }$ auf ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ entspricht.

Daraus folgt für eine gegebene Kurve ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \int \limits _{\mathcal {S}}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int \limits _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}V(\mathbf {r} (t))\,\mathrm {d} t=V(\mathbf {r} (b))-V(\mathbf {r} (a)).}$

Dies bedeutet, dass das Integral von ${\displaystyle \mathbf {F} }$ über ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ausschließlich von den Punkten ${\displaystyle \mathbf {r} (b)}$ und ${\displaystyle \mathbf {r} (a)}$ abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als „wegunabhängig“ bezeichnet.

Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ mit zwei beliebigen Wegen ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$:

${\displaystyle \oint \limits _{\mathcal {S}}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int \limits _{1,{\mathcal {S}}_{1}}^{2}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} +\int \limits _{2,{\mathcal {S}}_{2}}^{1}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} =0}$

Dies ist insbesondere in der Physik von großer Bedeutung, da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet.

Das skalare Feld ${\displaystyle V}$ ist dabei das Potential oder die potentielle Energie. Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d. i. die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0 J aufgebracht.

Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung zeigen.

Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung ${\displaystyle U}$ eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar, so ist das geschlossene Wegintegral von Kurven außerhalb von ${\displaystyle U}$ proportional zur Windungszahl um diesen Punkt und ansonsten unabhängig vom genauen Verlauf der Kurve (siehe Algebraische Topologie: Methodik).

Ersetzt man ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ durch ${\displaystyle \mathbb {C} }$ behandelt man komplexe Wegintegrale, die in der Funktionentheorie behandelt werden.

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 1981, 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0. S. 369, Satz 180.1; S. 391, Satz 184.1; S. 393, Satz 185.1.

1. ↑ Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 3-540-64491-1, S. 524.

• Kurs:Funktionentheorie
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen

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• Kurvenintegral https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral
• Datum: 20.10.2024
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