Lebesgue-Raum/Unstetiger Repräsentant/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow {\mathbb {K} }}$ ein beliebiger Repräsentant. Wir betrachten ${\displaystyle {}S:=U\cap \mathbb {Q} ^{n}}$ und ${\displaystyle {}T:=U\cap {\sqrt {2}}\cdot \mathbb {Q} ^{n}}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}\cdot \mathbb {Q} ^{n}}$ die Menge derjenigen Zahlen, die in jeder Komponente ein rationales Vielfaches der irrationalen Zahl ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$ sind. Die beiden Mengen sind zueinander disjunkt und beide abzählbar, daher ist auch ihre Vereinigung abzählbar. Wir ersetzen ${\displaystyle {}f}$ durch die Funktion ${\displaystyle {}g}$, die durch

${\displaystyle {}g(P):={\begin{cases}0,{\text{ falls }}P\in S\,,\\1,{\text{ falls }}P\in T\,,\\f(P){\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,}$

definiert ist. Die beiden Funktionen unterscheiden sich nur auf einer Nullmenge, daher definieren sie die gleiche Klasse in ${\displaystyle {}L^{2}(U,\lambda ^{n})}$. Für jeden Punkt ${\displaystyle {}P\in U}$ und jede offene Umgebung ${\displaystyle {}P\in U{\left(P,r\right)}\subseteq U}$ sind die beiden Mengen ${\displaystyle {}S\cap U{\left(P,r\right)}}$ und ${\displaystyle {}T\cap U{\left(P,r\right)}}$

${\displaystyle {}g}$

${\displaystyle {}P}$