Leibniz-Determinante/Direkt/Determinanteneigenschaften/Aufgabe

Für eine ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix ${\displaystyle {}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}}$ sei

${\displaystyle {}\delta (M)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.}$

Zeige die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit ${\displaystyle {}\delta (M)=\det M}$ zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).

a) Es ist ${\displaystyle {}\delta (E_{n})=1}$.

b) ${\displaystyle {}\delta }$ ist multilinear in den Zeilen der Matrix.

c) ${\displaystyle {}\delta }$ ist alternierend in den Zeilen der Matrix.

d) Man folgere aus a),b),c), dass ${\displaystyle {}\delta (M)=\det M}$ ist.