Lemniskate/Kurvenlänge/Integral/Beispiel

Wir betrachten die Lemniskate von Bernoulli, die durch die Gleichung

${\displaystyle {\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}\right\}}}$

gegeben ist. Wenn man die Punkte in Polarkoordinaten als

${\displaystyle {}(x,y)=\left(r\cos t,\,r\sin t\right)\,}$

ansetzt, so ergibt sich die Bedingung

${\displaystyle {}r^{4}=r^{2}{\left(\cos ^{2}t-\sin ^{2}t\right)}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}r^{2}=\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t\,}$

unter Verwendung des Additionstheorems für den Kosinus. Wegen

${\displaystyle {}r^{2}-r^{4}=(x^{2}+y^{2})-(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})=2y^{2}\,}$

und

${\displaystyle {}r^{2}+r^{4}=(x^{2}+y^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2})+(x^{2}-y^{2})=2x^{2}\,}$

kann man lokal (auf Stücken, wo man Quadratwurzeln festlegt; der Durchschnitt der Lemniskate mit einem Kreis um den Ursprung mit Radius ${\displaystyle {}r}$ besitzt ja vier Schnittpunkte) die Kurve durch ${\displaystyle {}r}$ parametrisieren. Die Bogenlänge der Lemniskate von ${\displaystyle {}0}$ bis ${\displaystyle {}s}$ in der Parametrisierung

${\displaystyle {}\gamma (r)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\sqrt {r^{2}+r^{4}}},\,{\sqrt {r^{2}-r^{4}}}\right)\,}$

ist nach Fakt gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{s}\Vert {\gamma '(r)}\Vert dr&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}\Vert {\left({\frac {r+2r^{3}}{\sqrt {r^{2}+r^{4}}}},\,{\frac {r-2r^{3}}{\sqrt {r^{2}-r^{4}}}}\right)}\Vert dr\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}\Vert {\left({\frac {1+2r^{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}},\,{\frac {1-2r^{2}}{\sqrt {1-r^{2}}}}\right)}\Vert dr\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}{\sqrt {{\frac {1+4r^{2}+4r^{4}}{1+r^{2}}}+{\frac {1-4r^{2}+4r^{4}}{1-r^{2}}}}}dr\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}{\sqrt {\frac {{\left(1+4r^{2}+4r^{4}\right)}{\left(1-r^{2}\right)}+{\left(1-4r^{2}+4r^{4}\right)}{\left(1+r^{2}\right)}}{1-r^{4}}}}dr\\&=\int _{0}^{s}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{4}}}}dr.\end{aligned}}}$