Limes superior/Stetige Abbildung/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine beschränkte reelle Folge,

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetige Abbildung und ${\displaystyle {}y_{n}=f(x_{n})}$ die Bildfolge. Es sei ${\displaystyle {}H}$ die Menge der Häufungspunkte von ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle {}G}$ die Menge der Häufungspunkte von ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$.

a) Zeige ${\displaystyle {}f(H)\subseteq G}$.

b) Zeige

${\displaystyle {}f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.}$

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.