Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Fakt/Beweis

${\displaystyle {}(1)\Rightarrow (2)}$. Es sei ${\displaystyle {}V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{r}}$ die Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Wegen der Irreduzibilität ist ${\displaystyle {}(V_{i})^{G}=V_{i}\cap V^{G}}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ oder gleich ${\displaystyle {}V_{i}}$, daher ist (nach Umordnung) ${\displaystyle {}V^{G}=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{s}}$. Die direkte Summe der verbleibenden irreduziblen Unterräume, also ${\displaystyle {}W=V_{s+1}\oplus \cdots \oplus V_{r}}$ bilden ein ${\displaystyle {}G}$-invariantes Komplement. Wenn ${\displaystyle {}W'}$ ein solches ${\displaystyle {}G}$-Komplement ist, so gilt wieder ${\displaystyle {}W'\cap V_{i}=V_{i}}$ oder ${\displaystyle {}=0}$. Bei ${\displaystyle {}W'\cap V_{i}=0}$ für ein ${\displaystyle {}i\geq s+1}$ würde die Dimension von ${\displaystyle {}W'}$ zu klein werden, also muss ${\displaystyle {}W'=W}$ sein. Den Zusatz kann man für die an ${\displaystyle {}W}$ beteiligten ${\displaystyle {}V_{i}}$ getrennt beweisen. Es sei also

${\displaystyle h\colon V_{i}\longrightarrow K}$

eine ${\displaystyle {}G}$-invariante Linearform. Bei ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}\geq 2}$ und ${\displaystyle {}h\neq 0}$ wäre der Kern ein echter ${\displaystyle {}G}$-invarianter Untervektorraum im Widerspruch zur Irreduziblität von ${\displaystyle {}V_{i}}$. Bei ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}=1}$ und ${\displaystyle {}h\neq 0}$ wäre ${\displaystyle {}h}$ eine Bijektion, und dann müsste ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}V_{i}}$ identisch wirken.
${\displaystyle {}(2)\Rightarrow (3)}$. Wir betrachten die lineare Projektion

${\displaystyle \pi \colon V\longrightarrow V^{G}}$

zur Zerlegung ${\displaystyle {}V=V^{G}\oplus W}$ mit dem ${\displaystyle {}G}$-invarianten Komplement ${\displaystyle {}W}$. Dabei ist ${\displaystyle {}\pi (v)=v\neq 0}$ und dazu gibt es eine Linearform ${\displaystyle {}h\colon V^{G}\rightarrow K}$ mit ${\displaystyle {}h(v)\neq 0}$. Die Linearform ${\displaystyle {}h\circ \pi }$ ist ${\displaystyle {}G}$-verträglich und leistet das Gewünschte.
${\displaystyle {}(3)\Rightarrow (4)}$. Es sei zunächst ${\displaystyle {}U}$ irreduzibel. Die Räume ${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}}$ sind dual zueinander, und zwar über die Beziehung

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\longrightarrow K,\,(\varphi ,\psi )\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(\varphi \circ \psi \right)}.}$

Dabei ist ${\displaystyle {}\varphi \circ \psi }$ ein Endomorphismus auf ${\displaystyle {}V}$. Wir fassen die Inklusion ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ als eine ${\displaystyle {}G}$-invariante lineare Abbildung, also als ein Element ${\displaystyle {}\varphi }$ in ${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}^{G}}$, auf. Nach ${\displaystyle {}(3)}$, angewendet auf dieses Element, muss es ein ${\displaystyle {}G}$-invariantes ${\displaystyle {}\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\cong {\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}}^{*}}$ mit ${\displaystyle {}\psi (\varphi )\neq 0}$ geben, was ${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(\varphi \circ \psi \right)}=\operatorname {Spur} {\left(\psi \circ \varphi \right)}\neq 0}$ bedeutet. Die lineare Abbildung

${\displaystyle \psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow U}$

ist daher nicht die Nullabbildung, und sie ist ${\displaystyle {}G}$-invariant als Verknüpfung von zwei ${\displaystyle {}G}$-invarianten linearen Abbildungen. Nach Fakt ist ${\displaystyle {}\psi \circ \varphi }$ eine Streckung, die wir zur Identität normieren können. Somit ist ${\displaystyle {}\psi }$ eine ${\displaystyle {}G}$-invariante Projektion auf ${\displaystyle {}U}$ und daher ist

${\displaystyle {}V=U\oplus \operatorname {kern} \varphi \,.}$

Im allgemeinen Fall führen wir Induktion über die Dimension von ${\displaystyle {}V}$. Es sei

${\displaystyle {}0\neq U'\subseteq U\,}$

ein ${\displaystyle {}G}$-invarianter irreduzibler Untervektorraum. Nach der Vorüberlegung ist ${\displaystyle {}V=U'\oplus V'}$, wobei ${\displaystyle {}V'}$ ebenfalls ${\displaystyle {}G}$-invariant ist. Es ist dann

${\displaystyle {}U=U'\oplus (U\cap V')\,.}$

Aufgrund der Induktionsvoraussetzung ist

${\displaystyle {}V'=(U\cap V')\oplus W\,}$

mit einem ${\displaystyle {}G}$-invarianten Untervektorraum

${\displaystyle {}W\subseteq V'\,}$

und daher ist

${\displaystyle {}V=U'\oplus V'=U'\oplus (U\cap V')\oplus W=U\oplus W\,.}$

${\displaystyle {}(4)\Rightarrow (1)}$

${\displaystyle {}V}$